Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45142 / 78117
↖ ↑ ↗
← S 32.632436°
W 56.013794°		 ← 257.21 m → S 32.632436°
W 56.011047°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
S 32.634749°
W 56.013794°		 ← 257.21 m →
66 154 m²		 S 32.634749°
W 56.011047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344409942626953 y=0.595989227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344409942626953 × 217)
    floor (0.344409942626953 × 131072)
    floor (45142.5)     		tx = 45142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595989227294922 × 217)
    floor (0.595989227294922 × 131072)
    floor (78117.5)     		ty = 78117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45142 / 78117 ti = "17/45142/78117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45142/78117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45142 ÷ 217
    45142 ÷ 131072     		x = 0.344406127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78117 ÷ 217
    78117 ÷ 131072     		y = 0.595985412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344406127929688 × 2 - 1) × π
    -0.311187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97762513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595985412597656 × 2 - 1) × π
    -0.191970825195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.603094134119927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97762513} λ = -0.97762513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603094134119927))-π/2
    2×atan(0.547116163647605)-π/2
    2×0.500626437280703-π/2
    1.00125287456141-1.57079632675     		φ = -0.56954345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97762513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.013794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56954345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.632436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45142 KachelY 78117 -0.97762513 -0.56954345 -56.013794 -32.632436
    Oben rechts KachelX + 1 45143 KachelY 78117 -0.97757719 -0.56954345 -56.011047 -32.632436
    Unten links KachelX 45142 KachelY + 1 78118 -0.97762513 -0.56958382 -56.013794 -32.634749
    Unten rechts KachelX + 1 45143 KachelY + 1 78118 -0.97757719 -0.56958382 -56.011047 -32.634749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56954345--0.56958382) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56954345--0.56958382) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97762513--0.97757719) × cos(-0.56954345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842147256423524 × 6371000     		do = 257.213448981956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97762513--0.97757719) × cos(-0.56958382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842125486310766 × 6371000     		du = 257.206799829157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56954345)-sin(-0.56958382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842147256423524-0.842125486310766)×R²
    abs(-0.97757719--0.97762513)×2.17701127583902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17701127583902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17701127583902e-05×40589641000000     		ar = 66153.7418224419m²