Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45142 / 77814
↖ ↑ ↗
← S 31.928855°
W 56.013794°		 ← 259.22 m → S 31.928855°
W 56.011047°		 →
↑
259.24 m
↓
↑
259.24 m
↓
S 31.931186°
W 56.013794°		 ← 259.21 m →
67 197 m²		 S 31.931186°
W 56.011047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344409942626953 y=0.593677520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344409942626953 × 217)
    floor (0.344409942626953 × 131072)
    floor (45142.5)     		tx = 45142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593677520751953 × 217)
    floor (0.593677520751953 × 131072)
    floor (77814.5)     		ty = 77814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45142 / 77814 ti = "17/45142/77814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45142/77814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45142 ÷ 217
    45142 ÷ 131072     		x = 0.344406127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77814 ÷ 217
    77814 ÷ 131072     		y = 0.593673706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344406127929688 × 2 - 1) × π
    -0.311187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97762513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593673706054688 × 2 - 1) × π
    -0.187347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.588569253535049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97762513} λ = -0.97762513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.588569253535049))-π/2
    2×atan(0.555120954172049)-π/2
    2×0.506766342063198-π/2
    1.0135326841264-1.57079632675     		φ = -0.55726364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97762513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.013794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55726364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.928855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45142 KachelY 77814 -0.97762513 -0.55726364 -56.013794 -31.928855
    Oben rechts KachelX + 1 45143 KachelY 77814 -0.97757719 -0.55726364 -56.011047 -31.928855
    Unten links KachelX 45142 KachelY + 1 77815 -0.97762513 -0.55730433 -56.013794 -31.931186
    Unten rechts KachelX + 1 45143 KachelY + 1 77815 -0.97757719 -0.55730433 -56.011047 -31.931186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55726364--0.55730433) × R
    4.06900000000654e-05 × 6371000     		dl = 259.235990000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55726364--0.55730433) × R
    4.06900000000654e-05 × 6371000     		dr = 259.235990000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97762513--0.97757719) × cos(-0.55726364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848705453884366 × 6371000     		do = 259.216491294498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97762513--0.97757719) × cos(-0.55730433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848683933631681 × 6371000     		du = 259.209918455397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55726364)-sin(-0.55730433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848705453884366-0.848683933631681)×R²
    abs(-0.97757719--0.97762513)×2.15202526845371e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15202526845371e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15202526845371e-05×40589641000000     		ar = 67197.3917963681m²