Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45141 / 78118
↖ ↑ ↗
← S 32.634749°
W 56.016541°		 ← 257.21 m → S 32.634749°
W 56.013794°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
S 32.637062°
W 56.016541°		 ← 257.20 m →
66 152 m²		 S 32.637062°
W 56.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344402313232422 y=0.595996856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344402313232422 × 217)
    floor (0.344402313232422 × 131072)
    floor (45141.5)     		tx = 45141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595996856689453 × 217)
    floor (0.595996856689453 × 131072)
    floor (78118.5)     		ty = 78118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45141 / 78118 ti = "17/45141/78118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45141/78118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45141 ÷ 217
    45141 ÷ 131072     		x = 0.344398498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78118 ÷ 217
    78118 ÷ 131072     		y = 0.595993041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344398498535156 × 2 - 1) × π
    -0.311203002929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.97767307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595993041992188 × 2 - 1) × π
    -0.191986083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.603142071019547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97767307} λ = -0.97767307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603142071019547))-π/2
    2×atan(0.5470899372236)-π/2
    2×0.500606252577376-π/2
    1.00121250515475-1.57079632675     		φ = -0.56958382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97767307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.016541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56958382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.634749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45141 KachelY 78118 -0.97767307 -0.56958382 -56.016541 -32.634749
    Oben rechts KachelX + 1 45142 KachelY 78118 -0.97762513 -0.56958382 -56.013794 -32.634749
    Unten links KachelX 45141 KachelY + 1 78119 -0.97767307 -0.56962419 -56.016541 -32.637062
    Unten rechts KachelX + 1 45142 KachelY + 1 78119 -0.97762513 -0.56962419 -56.013794 -32.637062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56958382--0.56962419) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56958382--0.56962419) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97767307--0.97762513) × cos(-0.56958382) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842125486310766 × 6371000     		do = 257.206799829753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97767307--0.97762513) × cos(-0.56962419) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842103714825565 × 6371000     		du = 257.200150257774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56958382)-sin(-0.56962419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842125486310766-0.842103714825565)×R²
    abs(-0.97762513--0.97767307)×2.17714852013273e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.17714852013273e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.17714852013273e-05×40589641000000     		ar = 66152.0316246822m²