Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4514 / 4834
↖ ↑ ↗
← S 30.826781°
E 18.369140°		 ← 4 196.19 m → S 30.826781°
E 18.413086°		 →
↑
4 195.37 m
↓
↑
4 195.37 m
↓
S 30.864510°
E 18.369140°		 ← 4 194.54 m →
17 601 083 m²		 S 30.864510°
E 18.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55108642578125 y=0.59014892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55108642578125 × 213)
    floor (0.55108642578125 × 8192)
    floor (4514.5)     		tx = 4514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59014892578125 × 213)
    floor (0.59014892578125 × 8192)
    floor (4834.5)     		ty = 4834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4514 / 4834 ti = "13/4514/4834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4514/4834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4514 ÷ 213
    4514 ÷ 8192     		x = 0.551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4834 ÷ 213
    4834 ÷ 8192     		y = 0.590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551025390625 × 2 - 1) × π
    0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.18017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.566038910713623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32060198} λ = 0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566038910713623))-π/2
    2×atan(0.567769977931318)-π/2
    2×0.516383751114733-π/2
    1.03276750222947-1.57079632675     		φ = -0.53802882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53802882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.826781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4514 KachelY 4834 0.32060198 -0.53802882 18.369140 -30.826781
    Oben rechts KachelX + 1 4515 KachelY 4834 0.32136898 -0.53802882 18.413086 -30.826781
    Unten links KachelX 4514 KachelY + 1 4835 0.32060198 -0.53868733 18.369140 -30.864510
    Unten rechts KachelX + 1 4515 KachelY + 1 4835 0.32136898 -0.53868733 18.413086 -30.864510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53802882--0.53868733) × R
    0.000658510000000057 × 6371000     		dl = 4195.36721000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53802882--0.53868733) × R
    0.000658510000000057 × 6371000     		dr = 4195.36721000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32060198-0.32136898) × cos(-0.53802882) × R
    0.000767000000000018 × 0.858720468956848 × 6371000     		do = 4196.18651862447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32060198-0.32136898) × cos(-0.53868733) × R
    0.000767000000000018 × 0.858382833102277 × 6371000     		du = 4194.53664177586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53802882)-sin(-0.53868733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858720468956848-0.858382833102277)×R²
    abs(0.32136898-0.32060198)×0.000337635854571361×R²
    0.000767000000000018×0.000337635854571361×6371000²
    0.000767000000000018×0.000337635854571361×40589641000000     		ar = 17601083.043702m²