Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4514 / 13162
↖ ↑ ↗
← S 73.086633°
W 80.815429°		 ← 710.79 m → S 73.086633°
W 80.793457°		 →
↑
710.62 m
↓
↑
710.62 m
↓
S 73.093024°
W 80.815429°		 ← 710.53 m →
505 012 m²		 S 73.093024°
W 80.793457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275543212890625 y=0.803375244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275543212890625 × 214)
    floor (0.275543212890625 × 16384)
    floor (4514.5)     		tx = 4514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803375244140625 × 214)
    floor (0.803375244140625 × 16384)
    floor (13162.5)     		ty = 13162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4514 / 13162 ti = "14/4514/13162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4514/13162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4514 ÷ 214
    4514 ÷ 16384     		x = 0.2755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13162 ÷ 214
    13162 ÷ 16384     		y = 0.8033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41049533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.606689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90597112889343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41049533} λ = -1.41049533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90597112889343))-π/2
    2×atan(0.148678186807853)-π/2
    2×0.147596970771722-π/2
    0.295193941543444-1.57079632675     		φ = -1.27560239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41049533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.815429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27560239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.086633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4514 KachelY 13162 -1.41049533 -1.27560239 -80.815429 -73.086633
    Oben rechts KachelX + 1 4515 KachelY 13162 -1.41011184 -1.27560239 -80.793457 -73.086633
    Unten links KachelX 4514 KachelY + 1 13163 -1.41049533 -1.27571393 -80.815429 -73.093024
    Unten rechts KachelX + 1 4515 KachelY + 1 13163 -1.41011184 -1.27571393 -80.793457 -73.093024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27560239--1.27571393) × R
    0.000111540000000021 × 6371000     		dl = 710.621340000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27560239--1.27571393) × R
    0.000111540000000021 × 6371000     		dr = 710.621340000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41049533--1.41011184) × cos(-1.27560239) × R
    0.000383490000000153 × 0.290925403795733 × 6371000     		do = 710.793249340741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41049533--1.41011184) × cos(-1.27571393) × R
    0.000383490000000153 × 0.290818686566481 × 6371000     		du = 710.532516227884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27560239)-sin(-1.27571393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290925403795733-0.290818686566481)×R²
    abs(-1.41011184--1.41049533)×0.00010671722925254×R²
    0.000383490000000153×0.00010671722925254×6371000²
    0.000383490000000153×0.00010671722925254×40589641000000     		ar = 505012.210577043m²