Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45139 / 77810
↖ ↑ ↗
← S 31.919530°
W 56.022034°		 ← 259.24 m → S 31.919530°
W 56.019287°		 →
↑
259.24 m
↓
↑
259.24 m
↓
S 31.921862°
W 56.022034°		 ← 259.24 m →
67 204 m²		 S 31.921862°
W 56.019287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344387054443359 y=0.593647003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344387054443359 × 217)
    floor (0.344387054443359 × 131072)
    floor (45139.5)     		tx = 45139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593647003173828 × 217)
    floor (0.593647003173828 × 131072)
    floor (77810.5)     		ty = 77810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45139 / 77810 ti = "17/45139/77810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45139/77810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45139 ÷ 217
    45139 ÷ 131072     		x = 0.344383239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77810 ÷ 217
    77810 ÷ 131072     		y = 0.593643188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344383239746094 × 2 - 1) × π
    -0.311233520507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.97776894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593643188476562 × 2 - 1) × π
    -0.187286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.588377505936569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97776894} λ = -0.97776894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.588377505936569))-π/2
    2×atan(0.555227407487635)-π/2
    2×0.506847714804887-π/2
    1.01369542960977-1.57079632675     		φ = -0.55710090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97776894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.022034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55710090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.919530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45139 KachelY 77810 -0.97776894 -0.55710090 -56.022034 -31.919530
    Oben rechts KachelX + 1 45140 KachelY 77810 -0.97772100 -0.55710090 -56.019287 -31.919530
    Unten links KachelX 45139 KachelY + 1 77811 -0.97776894 -0.55714159 -56.022034 -31.921862
    Unten rechts KachelX + 1 45140 KachelY + 1 77811 -0.97772100 -0.55714159 -56.019287 -31.921862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55710090--0.55714159) × R
    4.06899999999544e-05 × 6371000     		dl = 259.235989999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55710090--0.55714159) × R
    4.06899999999544e-05 × 6371000     		dr = 259.235989999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97776894--0.97772100) × cos(-0.55710090) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.84879151026838 × 6371000     		do = 259.242775129868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97776894--0.97772100) × cos(-0.55714159) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.848769995635944 × 6371000     		du = 259.236204007335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55710090)-sin(-0.55714159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84879151026838-0.848769995635944)×R²
    abs(-0.97772100--0.97776894)×2.15146324360482e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.15146324360482e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.15146324360482e-05×40589641000000     		ar = 67204.2057346326m²