Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45138 / 95186
↖ ↑ ↗
← S 62.857652°
W 56.024780°		 ← 139.34 m → S 62.857652°
W 56.022034°		 →
↑
139.33 m
↓
↑
139.33 m
↓
S 62.858905°
W 56.024780°		 ← 139.33 m →
19 414 m²		 S 62.858905°
W 56.022034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344379425048828 y=0.726215362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344379425048828 × 217)
    floor (0.344379425048828 × 131072)
    floor (45138.5)     		tx = 45138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726215362548828 × 217)
    floor (0.726215362548828 × 131072)
    floor (95186.5)     		ty = 95186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45138 / 95186 ti = "17/45138/95186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45138/95186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45138 ÷ 217
    45138 ÷ 131072     		x = 0.344375610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95186 ÷ 217
    95186 ÷ 131072     		y = 0.726211547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344375610351562 × 2 - 1) × π
    -0.311248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97781688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726211547851562 × 2 - 1) × π
    -0.452423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42132907373466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97781688} λ = -0.97781688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42132907373466))-π/2
    2×atan(0.24139297453762)-π/2
    2×0.236861672801216-π/2
    0.473723345602431-1.57079632675     		φ = -1.09707298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97781688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.024780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09707298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.857652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45138 KachelY 95186 -0.97781688 -1.09707298 -56.024780 -62.857652
    Oben rechts KachelX + 1 45139 KachelY 95186 -0.97776894 -1.09707298 -56.022034 -62.857652
    Unten links KachelX 45138 KachelY + 1 95187 -0.97781688 -1.09709485 -56.024780 -62.858905
    Unten rechts KachelX + 1 45139 KachelY + 1 95187 -0.97776894 -1.09709485 -56.022034 -62.858905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09707298--1.09709485) × R
    2.18699999998684e-05 × 6371000     		dl = 139.333769999161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09707298--1.09709485) × R
    2.18699999998684e-05 × 6371000     		dr = 139.333769999161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97781688--0.97776894) × cos(-1.09707298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456202756389043 × 6371000     		do = 139.336064460072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97781688--0.97776894) × cos(-1.09709485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4561832946949 × 6371000     		du = 139.330120357737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09707298)-sin(-1.09709485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456202756389043-0.4561832946949)×R²
    abs(-0.97776894--0.97781688)×1.94616941425751e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94616941425751e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94616941425751e-05×40589641000000     		ar = 19413.8050518267m²