Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45136 / 78098
↖ ↑ ↗
← S 32.588478°
W 56.030273°		 ← 257.29 m → S 32.588478°
W 56.027527°		 →
↑
257.26 m
↓
↑
257.26 m
↓
S 32.590792°
W 56.030273°		 ← 257.28 m →
66 189 m²		 S 32.590792°
W 56.027527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344364166259766 y=0.595844268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344364166259766 × 217)
    floor (0.344364166259766 × 131072)
    floor (45136.5)     		tx = 45136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595844268798828 × 217)
    floor (0.595844268798828 × 131072)
    floor (78098.5)     		ty = 78098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45136 / 78098 ti = "17/45136/78098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45136/78098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45136 ÷ 217
    45136 ÷ 131072     		x = 0.3443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78098 ÷ 217
    78098 ÷ 131072     		y = 0.595840454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97791275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595840454101562 × 2 - 1) × π
    -0.191680908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.602183333027145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97791275} λ = -0.97791275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602183333027145))-π/2
    2×atan(0.547614704648714)-π/2
    2×0.50101004575968-π/2
    1.00202009151936-1.57079632675     		φ = -0.56877624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97791275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.030273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56877624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.588478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45136 KachelY 78098 -0.97791275 -0.56877624 -56.030273 -32.588478
    Oben rechts KachelX + 1 45137 KachelY 78098 -0.97786482 -0.56877624 -56.027527 -32.588478
    Unten links KachelX 45136 KachelY + 1 78099 -0.97791275 -0.56881662 -56.030273 -32.590792
    Unten rechts KachelX + 1 45137 KachelY + 1 78099 -0.97786482 -0.56881662 -56.027527 -32.590792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56877624--0.56881662) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dl = 257.260979999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56877624--0.56881662) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dr = 257.260979999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97791275--0.97786482) × cos(-0.56877624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.842560724702851 × 6371000     		do = 257.286053293691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97791275--0.97786482) × cos(-0.56881662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.842538975293017 × 6371000     		du = 257.279411849753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56877624)-sin(-0.56881662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842560724702851-0.842538975293017)×R²
    abs(-0.97786482--0.97791275)×2.17494098344595e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.17494098344595e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.17494098344595e-05×40589641000000     		ar = 66188.8079275259m²