Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45134 / 78174
↖ ↑ ↗
← S 32.764181°
W 56.035767°		 ← 256.83 m → S 32.764181°
W 56.033020°		 →
↑
256.82 m
↓
↑
256.82 m
↓
S 32.766491°
W 56.035767°		 ← 256.83 m →
65 958 m²		 S 32.766491°
W 56.033020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344348907470703 y=0.596424102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344348907470703 × 217)
    floor (0.344348907470703 × 131072)
    floor (45134.5)     		tx = 45134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596424102783203 × 217)
    floor (0.596424102783203 × 131072)
    floor (78174.5)     		ty = 78174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45134 / 78174 ti = "17/45134/78174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45134/78174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45134 ÷ 217
    45134 ÷ 131072     		x = 0.344345092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78174 ÷ 217
    78174 ÷ 131072     		y = 0.596420288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344345092773438 × 2 - 1) × π
    -0.311309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97800863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596420288085938 × 2 - 1) × π
    -0.192840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.60582653739827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97800863} λ = -0.97800863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60582653739827))-π/2
    2×atan(0.545623262181687)-π/2
    2×0.499476742546673-π/2
    0.998953485093345-1.57079632675     		φ = -0.57184284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97800863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.035767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57184284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.764181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45134 KachelY 78174 -0.97800863 -0.57184284 -56.035767 -32.764181
    Oben rechts KachelX + 1 45135 KachelY 78174 -0.97796069 -0.57184284 -56.033020 -32.764181
    Unten links KachelX 45134 KachelY + 1 78175 -0.97800863 -0.57188315 -56.035767 -32.766491
    Unten rechts KachelX + 1 45135 KachelY + 1 78175 -0.97796069 -0.57188315 -56.033020 -32.766491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57184284--0.57188315) × R
    4.03100000000434e-05 × 6371000     		dl = 256.815010000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57184284--0.57188315) × R
    4.03100000000434e-05 × 6371000     		dr = 256.815010000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97800863--0.97796069) × cos(-0.57184284) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.840905090628052 × 6371000     		do = 256.834059575266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97800863--0.97796069) × cos(-0.57188315) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.840883274873441 × 6371000     		du = 256.82739648227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57184284)-sin(-0.57188315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840905090628052-0.840883274873441)×R²
    abs(-0.97796069--0.97800863)×2.18157546116871e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.18157546116871e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.18157546116871e-05×40589641000000     		ar = 65957.9859960973m²