Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45133 / 95332
↖ ↑ ↗
← S 63.040021°
W 56.038513°		 ← 138.44 m → S 63.040021°
W 56.035767°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
S 63.041266°
W 56.038513°		 ← 138.44 m →
19 166 m²		 S 63.041266°
W 56.035767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344341278076172 y=0.727329254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344341278076172 × 217)
    floor (0.344341278076172 × 131072)
    floor (45133.5)     		tx = 45133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727329254150391 × 217)
    floor (0.727329254150391 × 131072)
    floor (95332.5)     		ty = 95332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45133 / 95332 ti = "17/45133/95332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45133/95332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45133 ÷ 217
    45133 ÷ 131072     		x = 0.344337463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95332 ÷ 217
    95332 ÷ 131072     		y = 0.727325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344337463378906 × 2 - 1) × π
    -0.311325073242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.97805656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.45465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42832786107919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97805656} λ = -0.97805656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42832786107919))-π/2
    2×atan(0.239709414752974)-π/2
    2×0.235270203486746-π/2
    0.470540406973491-1.57079632675     		φ = -1.10025592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97805656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.038513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10025592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.040021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45133 KachelY 95332 -0.97805656 -1.10025592 -56.038513 -63.040021
    Oben rechts KachelX + 1 45134 KachelY 95332 -0.97800863 -1.10025592 -56.035767 -63.040021
    Unten links KachelX 45133 KachelY + 1 95333 -0.97805656 -1.10027765 -56.038513 -63.041266
    Unten rechts KachelX + 1 45134 KachelY + 1 95333 -0.97800863 -1.10027765 -56.035767 -63.041266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10025592--1.10027765) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10025592--1.10027765) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97805656--0.97800863) × cos(-1.10025592) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.453368028786331 × 6371000     		do = 138.441381607056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97805656--0.97800863) × cos(-1.10027765) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.453348660221481 × 6371000     		du = 138.435467182776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10025592)-sin(-1.10027765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453368028786331-0.453348660221481)×R²
    abs(-0.97800863--0.97805656)×1.93685648492981e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.93685648492981e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.93685648492981e-05×40589641000000     		ar = 19165.6688164398m²