Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45133 / 77790
↖ ↑ ↗
← S 31.872893°
W 56.038513°		 ← 259.32 m → S 31.872893°
W 56.035767°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
S 31.875225°
W 56.038513°		 ← 259.31 m →
67 257 m²		 S 31.875225°
W 56.035767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344341278076172 y=0.593494415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344341278076172 × 217)
    floor (0.344341278076172 × 131072)
    floor (45133.5)     		tx = 45133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593494415283203 × 217)
    floor (0.593494415283203 × 131072)
    floor (77790.5)     		ty = 77790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45133 / 77790 ti = "17/45133/77790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45133/77790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45133 ÷ 217
    45133 ÷ 131072     		x = 0.344337463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77790 ÷ 217
    77790 ÷ 131072     		y = 0.593490600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344337463378906 × 2 - 1) × π
    -0.311325073242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.97805656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593490600585938 × 2 - 1) × π
    -0.186981201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.587418767944168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97805656} λ = -0.97805656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587418767944168))-π/2
    2×atan(0.555759980355742)-π/2
    2×0.507254702239491-π/2
    1.01450940447898-1.57079632675     		φ = -0.55628692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97805656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.038513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55628692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.872893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45133 KachelY 77790 -0.97805656 -0.55628692 -56.038513 -31.872893
    Oben rechts KachelX + 1 45134 KachelY 77790 -0.97800863 -0.55628692 -56.035767 -31.872893
    Unten links KachelX 45133 KachelY + 1 77791 -0.97805656 -0.55632763 -56.038513 -31.875225
    Unten rechts KachelX + 1 45134 KachelY + 1 77791 -0.97800863 -0.55632763 -56.035767 -31.875225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55628692--0.55632763) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dl = 259.363409999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55628692--0.55632763) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dr = 259.363409999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97805656--0.97800863) × cos(-0.55628692) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.849221602798346 × 6371000     		do = 259.320032549915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97805656--0.97800863) × cos(-0.55632763) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.849200105723948 × 6371000     		du = 259.313468159637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55628692)-sin(-0.55632763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849221602798346-0.849200105723948)×R²
    abs(-0.97800863--0.97805656)×2.14970743985798e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.14970743985798e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.14970743985798e-05×40589641000000     		ar = 67257.2766514149m²