Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45130 / 78115
↖ ↑ ↗
← S 32.627810°
W 56.046753°		 ← 257.17 m → S 32.627810°
W 56.044007°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
S 32.630123°
W 56.046753°		 ← 257.17 m →
66 143 m²		 S 32.630123°
W 56.044007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344318389892578 y=0.595973968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344318389892578 × 217)
    floor (0.344318389892578 × 131072)
    floor (45130.5)     		tx = 45130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595973968505859 × 217)
    floor (0.595973968505859 × 131072)
    floor (78115.5)     		ty = 78115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45130 / 78115 ti = "17/45130/78115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45130/78115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45130 ÷ 217
    45130 ÷ 131072     		x = 0.344314575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78115 ÷ 217
    78115 ÷ 131072     		y = 0.595970153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344314575195312 × 2 - 1) × π
    -0.311370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97820037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595970153808594 × 2 - 1) × π
    -0.191940307617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.602998260320686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97820037} λ = -0.97820037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602998260320686))-π/2
    2×atan(0.547168620267407)-π/2
    2×0.500666808252673-π/2
    1.00133361650535-1.57079632675     		φ = -0.56946271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97820037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.046753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56946271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.627810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45130 KachelY 78115 -0.97820037 -0.56946271 -56.046753 -32.627810
    Oben rechts KachelX + 1 45131 KachelY 78115 -0.97815244 -0.56946271 -56.044007 -32.627810
    Unten links KachelX 45130 KachelY + 1 78116 -0.97820037 -0.56950308 -56.046753 -32.630123
    Unten rechts KachelX + 1 45131 KachelY + 1 78116 -0.97815244 -0.56950308 -56.044007 -32.630123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56946271--0.56950308) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56946271--0.56950308) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97820037--0.97815244) × cos(-0.56946271) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.84219079253157 × 6371000     		do = 257.173090054906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97820037--0.97815244) × cos(-0.56950308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.842169025163804 × 6371000     		du = 257.166443127298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56946271)-sin(-0.56950308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84219079253157-0.842169025163804)×R²
    abs(-0.97815244--0.97820037)×2.17673677659347e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.17673677659347e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.17673677659347e-05×40589641000000     		ar = 66143.3619028961m²