Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4513 / 13163
↖ ↑ ↗
← S 73.093024°
W 80.837402°		 ← 710.55 m → S 73.093024°
W 80.815429°		 →
↑
710.43 m
↓
↑
710.43 m
↓
S 73.099413°
W 80.837402°		 ← 710.29 m →
504 704 m²		 S 73.099413°
W 80.815429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275482177734375 y=0.803436279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275482177734375 × 214)
    floor (0.275482177734375 × 16384)
    floor (4513.5)     		tx = 4513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803436279296875 × 214)
    floor (0.803436279296875 × 16384)
    floor (13163.5)     		ty = 13163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4513 / 13163 ti = "14/4513/13163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4513/13163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4513 ÷ 214
    4513 ÷ 16384     		x = 0.27545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13163 ÷ 214
    13163 ÷ 16384     		y = 0.80340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.4490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41087883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.6068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90635462409039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41087883} λ = -1.41087883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90635462409039))-π/2
    2×atan(0.148621180368866)-π/2
    2×0.147541196756027-π/2
    0.295082393512054-1.57079632675     		φ = -1.27571393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41087883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.837402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27571393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.093024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4513 KachelY 13163 -1.41087883 -1.27571393 -80.837402 -73.093024
    Oben rechts KachelX + 1 4514 KachelY 13163 -1.41049533 -1.27571393 -80.815429 -73.093024
    Unten links KachelX 4513 KachelY + 1 13164 -1.41087883 -1.27582544 -80.837402 -73.099413
    Unten rechts KachelX + 1 4514 KachelY + 1 13164 -1.41049533 -1.27582544 -80.815429 -73.099413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27571393--1.27582544) × R
    0.000111509999999981 × 6371000     		dl = 710.430209999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27571393--1.27582544) × R
    0.000111509999999981 × 6371000     		dr = 710.430209999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41087883--1.41049533) × cos(-1.27571393) × R
    0.00038349999999987 × 0.290818686566481 × 6371000     		do = 710.551044285881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41087883--1.41049533) × cos(-1.27582544) × R
    0.00038349999999987 × 0.290711994423421 × 6371000     		du = 710.290365666625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27571393)-sin(-1.27582544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290818686566481-0.290711994423421)×R²
    abs(-1.41049533--1.41087883)×0.000106692143059417×R²
    0.00038349999999987×0.000106692143059417×6371000²
    0.00038349999999987×0.000106692143059417×40589641000000     		ar = 504704.331146423m²