Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4513 / 12911
↖ ↑ ↗
← S 71.406172°
W 80.837402°		 ← 779.06 m → S 71.406172°
W 80.815429°		 →
↑
778.92 m
↓
↑
778.92 m
↓
S 71.413177°
W 80.837402°		 ← 778.77 m →
606 712 m²		 S 71.413177°
W 80.815429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275482177734375 y=0.788055419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275482177734375 × 214)
    floor (0.275482177734375 × 16384)
    floor (4513.5)     		tx = 4513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788055419921875 × 214)
    floor (0.788055419921875 × 16384)
    floor (12911.5)     		ty = 12911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4513 / 12911 ti = "14/4513/12911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4513/12911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4513 ÷ 214
    4513 ÷ 16384     		x = 0.27545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12911 ÷ 214
    12911 ÷ 16384     		y = 0.78802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.4490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41087883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5760498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80971383445636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41087883} λ = -1.41087883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80971383445636))-π/2
    2×atan(0.163700975679248)-π/2
    2×0.162261759869337-π/2
    0.324523519738673-1.57079632675     		φ = -1.24627281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41087883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.837402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24627281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.406172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4513 KachelY 12911 -1.41087883 -1.24627281 -80.837402 -71.406172
    Oben rechts KachelX + 1 4514 KachelY 12911 -1.41049533 -1.24627281 -80.815429 -71.406172
    Unten links KachelX 4513 KachelY + 1 12912 -1.41087883 -1.24639507 -80.837402 -71.413177
    Unten rechts KachelX + 1 4514 KachelY + 1 12912 -1.41049533 -1.24639507 -80.815429 -71.413177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24627281--1.24639507) × R
    0.00012225999999993 × 6371000     		dl = 778.918459999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24627281--1.24639507) × R
    0.00012225999999993 × 6371000     		dr = 778.918459999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41087883--1.41049533) × cos(-1.24627281) × R
    0.00038349999999987 × 0.318857209971313 × 6371000     		do = 779.056965692631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41087883--1.41049533) × cos(-1.24639507) × R
    0.00038349999999987 × 0.318741329222602 × 6371000     		du = 778.773836750741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24627281)-sin(-1.24639507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318857209971313-0.318741329222602)×R²
    abs(-1.41049533--1.41087883)×0.000115880748711328×R²
    0.00038349999999987×0.000115880748711328×6371000²
    0.00038349999999987×0.000115880748711328×40589641000000     		ar = 606711.585544317m²