Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4513 / 12910
↖ ↑ ↗
← S 71.399164°
W 80.837402°		 ← 779.34 m → S 71.399164°
W 80.815429°		 →
↑
779.24 m
↓
↑
779.24 m
↓
S 71.406172°
W 80.837402°		 ← 779.06 m →
607 180 m²		 S 71.406172°
W 80.815429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275482177734375 y=0.787994384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275482177734375 × 214)
    floor (0.275482177734375 × 16384)
    floor (4513.5)     		tx = 4513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787994384765625 × 214)
    floor (0.787994384765625 × 16384)
    floor (12910.5)     		ty = 12910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4513 / 12910 ti = "14/4513/12910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4513/12910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4513 ÷ 214
    4513 ÷ 16384     		x = 0.27545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12910 ÷ 214
    12910 ÷ 16384     		y = 0.7879638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.4490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41087883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7879638671875 × 2 - 1) × π
    -0.575927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8093303392594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41087883} λ = -1.41087883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8093303392594))-π/2
    2×atan(0.163763766256331)-π/2
    2×0.162322911086871-π/2
    0.324645822173743-1.57079632675     		φ = -1.24615050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41087883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.837402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24615050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.399164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4513 KachelY 12910 -1.41087883 -1.24615050 -80.837402 -71.399164
    Oben rechts KachelX + 1 4514 KachelY 12910 -1.41049533 -1.24615050 -80.815429 -71.399164
    Unten links KachelX 4513 KachelY + 1 12911 -1.41087883 -1.24627281 -80.837402 -71.406172
    Unten rechts KachelX + 1 4514 KachelY + 1 12911 -1.41049533 -1.24627281 -80.815429 -71.406172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24615050--1.24627281) × R
    0.00012231000000007 × 6371000     		dl = 779.237010000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24615050--1.24627281) × R
    0.00012231000000007 × 6371000     		dr = 779.237010000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41087883--1.41049533) × cos(-1.24615050) × R
    0.00038349999999987 × 0.318973133342092 × 6371000     		do = 779.340198772103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41087883--1.41049533) × cos(-1.24627281) × R
    0.00038349999999987 × 0.318857209971313 × 6371000     		du = 779.056965692631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24615050)-sin(-1.24627281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318973133342092-0.318857209971313)×R²
    abs(-1.41049533--1.41087883)×0.000115923370779092×R²
    0.00038349999999987×0.000115923370779092×6371000²
    0.00038349999999987×0.000115923370779092×40589641000000     		ar = 607180.374172848m²