Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45129 / 95329
↖ ↑ ↗
← S 63.036285°
W 56.049499°		 ← 138.49 m → S 63.036285°
W 56.046753°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
S 63.037530°
W 56.049499°		 ← 138.48 m →
19 172 m²		 S 63.037530°
W 56.046753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344310760498047 y=0.727306365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344310760498047 × 217)
    floor (0.344310760498047 × 131072)
    floor (45129.5)     		tx = 45129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727306365966797 × 217)
    floor (0.727306365966797 × 131072)
    floor (95329.5)     		ty = 95329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45129 / 95329 ti = "17/45129/95329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45129/95329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45129 ÷ 217
    45129 ÷ 131072     		x = 0.344306945800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95329 ÷ 217
    95329 ÷ 131072     		y = 0.727302551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344306945800781 × 2 - 1) × π
    -0.311386108398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.97824831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727302551269531 × 2 - 1) × π
    -0.454605102539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.42818405038033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97824831} λ = -0.97824831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42818405038033))-π/2
    2×atan(0.239743890010329)-π/2
    2×0.235302805162691-π/2
    0.470605610325382-1.57079632675     		φ = -1.10019072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97824831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.049499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10019072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.036285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45129 KachelY 95329 -0.97824831 -1.10019072 -56.049499 -63.036285
    Oben rechts KachelX + 1 45130 KachelY 95329 -0.97820037 -1.10019072 -56.046753 -63.036285
    Unten links KachelX 45129 KachelY + 1 95330 -0.97824831 -1.10021245 -56.049499 -63.037530
    Unten rechts KachelX + 1 45130 KachelY + 1 95330 -0.97820037 -1.10021245 -56.046753 -63.037530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10019072--1.10021245) × R
    2.17299999998311e-05 × 6371000     		dl = 138.441829998924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10019072--1.10021245) × R
    2.17299999998311e-05 × 6371000     		dr = 138.441829998924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97824831--0.97820037) × cos(-1.10019072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453426142109317 × 6371000     		do = 138.488014988993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97824831--0.97820037) × cos(-1.10021245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453406774186826 × 6371000     		du = 138.482099526933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10019072)-sin(-1.10021245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453426142109317-0.453406774186826)×R²
    abs(-0.97820037--0.97824831)×1.9367922491631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9367922491631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9367922491631e-05×40589641000000     		ar = 19172.1247549762m²