Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45128 / 95560
↖ ↑ ↗
← S 63.322550°
W 56.052246°		 ← 137.13 m → S 63.322550°
W 56.049499°		 →
↑
137.10 m
↓
↑
137.10 m
↓
S 63.323783°
W 56.052246°		 ← 137.12 m →
18 800 m²		 S 63.323783°
W 56.049499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344303131103516 y=0.729068756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344303131103516 × 217)
    floor (0.344303131103516 × 131072)
    floor (45128.5)     		tx = 45128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729068756103516 × 217)
    floor (0.729068756103516 × 131072)
    floor (95560.5)     		ty = 95560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45128 / 95560 ti = "17/45128/95560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45128/95560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45128 ÷ 217
    45128 ÷ 131072     		x = 0.34429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95560 ÷ 217
    95560 ÷ 131072     		y = 0.72906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.3114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97829625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.4581298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43925747419257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97829625} λ = -0.97829625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43925747419257))-π/2
    2×atan(0.237103748988027)-π/2
    2×0.232804673846473-π/2
    0.465609347692946-1.57079632675     		φ = -1.10518698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97829625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10518698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.322550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45128 KachelY 95560 -0.97829625 -1.10518698 -56.052246 -63.322550
    Oben rechts KachelX + 1 45129 KachelY 95560 -0.97824831 -1.10518698 -56.049499 -63.322550
    Unten links KachelX 45128 KachelY + 1 95561 -0.97829625 -1.10520850 -56.052246 -63.323783
    Unten rechts KachelX + 1 45129 KachelY + 1 95561 -0.97824831 -1.10520850 -56.049499 -63.323783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10518698--1.10520850) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dl = 137.103919999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10518698--1.10520850) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dr = 137.103919999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97829625--0.97824831) × cos(-1.10518698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448967365467662 × 6371000     		do = 137.126189833721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97829625--0.97824831) × cos(-1.10520850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448948136207414 × 6371000     		du = 137.12031672268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10518698)-sin(-1.10520850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448967365467662-0.448948136207414)×R²
    abs(-0.97824831--0.97829625)×1.92292602481103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92292602481103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92292602481103e-05×40589641000000     		ar = 18800.1355483314m²