Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45126 / 77843
↖ ↑ ↗
← S 31.996430°
W 56.057739°		 ← 259.03 m → S 31.996430°
W 56.054992°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
S 31.998760°
W 56.057739°		 ← 259.02 m →
67 098 m²		 S 31.998760°
W 56.054992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344287872314453 y=0.593898773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344287872314453 × 217)
    floor (0.344287872314453 × 131072)
    floor (45126.5)     		tx = 45126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593898773193359 × 217)
    floor (0.593898773193359 × 131072)
    floor (77843.5)     		ty = 77843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45126 / 77843 ti = "17/45126/77843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45126/77843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45126 ÷ 217
    45126 ÷ 131072     		x = 0.344284057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77843 ÷ 217
    77843 ÷ 131072     		y = 0.593894958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344284057617188 × 2 - 1) × π
    -0.311431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97839212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593894958496094 × 2 - 1) × π
    -0.187789916992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.589959423624031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97839212} λ = -0.97839212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589959423624031))-π/2
    2×atan(0.554349777783162)-π/2
    2×0.506176636539073-π/2
    1.01235327307815-1.57079632675     		φ = -0.55844305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97839212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.057739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55844305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.996430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45126 KachelY 77843 -0.97839212 -0.55844305 -56.057739 -31.996430
    Oben rechts KachelX + 1 45127 KachelY 77843 -0.97834418 -0.55844305 -56.054992 -31.996430
    Unten links KachelX 45126 KachelY + 1 77844 -0.97839212 -0.55848371 -56.057739 -31.998760
    Unten rechts KachelX + 1 45127 KachelY + 1 77844 -0.97834418 -0.55848371 -56.054992 -31.998760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55844305--0.55848371) × R
    4.06599999999147e-05 × 6371000     		dl = 259.044859999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55844305--0.55848371) × R
    4.06599999999147e-05 × 6371000     		dr = 259.044859999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97839212--0.97834418) × cos(-0.55844305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848081114117623 × 6371000     		do = 259.02580185923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97839212--0.97834418) × cos(-0.55848371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848059569047921 × 6371000     		du = 259.019221440373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55844305)-sin(-0.55848371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848081114117623-0.848059569047921)×R²
    abs(-0.97834418--0.97839212)×2.15450697020891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15450697020891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15450697020891e-05×40589641000000     		ar = 67098.4502762413m²