Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45125 / 77842
↖ ↑ ↗
← S 31.994101°
W 56.060486°		 ← 259.03 m → S 31.994101°
W 56.057739°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
S 31.996430°
W 56.060486°		 ← 259.03 m →
67 084 m²		 S 31.996430°
W 56.057739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344280242919922 y=0.593891143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344280242919922 × 217)
    floor (0.344280242919922 × 131072)
    floor (45125.5)     		tx = 45125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593891143798828 × 217)
    floor (0.593891143798828 × 131072)
    floor (77842.5)     		ty = 77842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45125 / 77842 ti = "17/45125/77842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45125/77842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45125 ÷ 217
    45125 ÷ 131072     		x = 0.344276428222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77842 ÷ 217
    77842 ÷ 131072     		y = 0.593887329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344276428222656 × 2 - 1) × π
    -0.311447143554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.97844006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593887329101562 × 2 - 1) × π
    -0.187774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.589911486724411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97844006} λ = -0.97844006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589911486724411))-π/2
    2×atan(0.554376352229758)-π/2
    2×0.506196963986798-π/2
    1.0123939279736-1.57079632675     		φ = -0.55840240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97844006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.060486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55840240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.994101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45125 KachelY 77842 -0.97844006 -0.55840240 -56.060486 -31.994101
    Oben rechts KachelX + 1 45126 KachelY 77842 -0.97839212 -0.55840240 -56.057739 -31.994101
    Unten links KachelX 45125 KachelY + 1 77843 -0.97844006 -0.55844305 -56.060486 -31.996430
    Unten rechts KachelX + 1 45126 KachelY + 1 77843 -0.97839212 -0.55844305 -56.057739 -31.996430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55840240--0.55844305) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dl = 258.981150000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55840240--0.55844305) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dr = 258.981150000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97844006--0.97839212) × cos(-0.55840240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848102652486928 × 6371000     		do = 259.032380231613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97844006--0.97839212) × cos(-0.55844305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848081114117623 × 6371000     		du = 259.02580185923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55840240)-sin(-0.55844305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848102652486928-0.848081114117623)×R²
    abs(-0.97839212--0.97844006)×2.15383693049631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15383693049631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15383693049631e-05×40589641000000     		ar = 67083.6518917335m²