Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45124 / 95342
↖ ↑ ↗
← S 63.052470°
W 56.063233°		 ← 138.41 m → S 63.052470°
W 56.060486°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
S 63.053715°
W 56.063233°		 ← 138.41 m →
19 161 m²		 S 63.053715°
W 56.060486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344272613525391 y=0.727405548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344272613525391 × 217)
    floor (0.344272613525391 × 131072)
    floor (45124.5)     		tx = 45124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727405548095703 × 217)
    floor (0.727405548095703 × 131072)
    floor (95342.5)     		ty = 95342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45124 / 95342 ti = "17/45124/95342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45124/95342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45124 ÷ 217
    45124 ÷ 131072     		x = 0.344268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95342 ÷ 217
    95342 ÷ 131072     		y = 0.727401733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.31146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97848800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727401733398438 × 2 - 1) × π
    -0.454803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42880723007539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97848800} λ = -0.97848800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42880723007539))-π/2
    2×atan(0.239594533029013)-π/2
    2×0.235161561410684-π/2
    0.470323122821367-1.57079632675     		φ = -1.10047320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97848800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.063233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10047320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.052470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45124 KachelY 95342 -0.97848800 -1.10047320 -56.063233 -63.052470
    Oben rechts KachelX + 1 45125 KachelY 95342 -0.97844006 -1.10047320 -56.060486 -63.052470
    Unten links KachelX 45124 KachelY + 1 95343 -0.97848800 -1.10049493 -56.063233 -63.053715
    Unten rechts KachelX + 1 45125 KachelY + 1 95343 -0.97844006 -1.10049493 -56.060486 -63.053715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10047320--1.10049493) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10047320--1.10049493) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97848800--0.97844006) × cos(-1.10047320) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.453174351334313 × 6371000     		do = 138.411111605532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97848800--0.97844006) × cos(-1.10049493) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.453154980629392 × 6371000     		du = 138.405195293648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10047320)-sin(-1.10049493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453174351334313-0.453154980629392)×R²
    abs(-0.97844006--0.97848800)×1.9370704920918e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9370704920918e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9370704920918e-05×40589641000000     		ar = 19161.4780512843m²