Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45124 / 77835
↖ ↑ ↗
← S 31.977794°
W 56.063233°		 ← 259.08 m → S 31.977794°
W 56.060486°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
S 31.980123°
W 56.063233°		 ← 259.07 m →
67 112 m²		 S 31.980123°
W 56.060486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344272613525391 y=0.593837738037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344272613525391 × 217)
    floor (0.344272613525391 × 131072)
    floor (45124.5)     		tx = 45124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593837738037109 × 217)
    floor (0.593837738037109 × 131072)
    floor (77835.5)     		ty = 77835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45124 / 77835 ti = "17/45124/77835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45124/77835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45124 ÷ 217
    45124 ÷ 131072     		x = 0.344268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77835 ÷ 217
    77835 ÷ 131072     		y = 0.593833923339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.31146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97848800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593833923339844 × 2 - 1) × π
    -0.187667846679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.589575928427071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97848800} λ = -0.97848800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589575928427071))-π/2
    2×atan(0.554562409029303)-π/2
    2×0.506339270575935-π/2
    1.01267854115187-1.57079632675     		φ = -0.55811779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97848800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.063233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55811779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.977794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45124 KachelY 77835 -0.97848800 -0.55811779 -56.063233 -31.977794
    Oben rechts KachelX + 1 45125 KachelY 77835 -0.97844006 -0.55811779 -56.060486 -31.977794
    Unten links KachelX 45124 KachelY + 1 77836 -0.97848800 -0.55815845 -56.063233 -31.980123
    Unten rechts KachelX + 1 45125 KachelY + 1 77836 -0.97844006 -0.55815845 -56.060486 -31.980123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55811779--0.55815845) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55811779--0.55815845) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97848800--0.97844006) × cos(-0.55811779) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.848253413605635 × 6371000     		do = 259.078426558457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97848800--0.97844006) × cos(-0.55815845) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.848231879752863 × 6371000     		du = 259.071849565539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55811779)-sin(-0.55815845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848253413605635-0.848231879752863)×R²
    abs(-0.97844006--0.97848800)×2.15338527717046e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.15338527717046e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.15338527717046e-05×40589641000000     		ar = 67112.0828781571m²