Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45123 / 95169
↖ ↑ ↗
← S 62.836343°
W 56.065979°		 ← 139.41 m → S 62.836343°
W 56.063233°		 →
↑
139.46 m
↓
↑
139.46 m
↓
S 62.837597°
W 56.065979°		 ← 139.40 m →
19 442 m²		 S 62.837597°
W 56.063233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344264984130859 y=0.726085662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344264984130859 × 217)
    floor (0.344264984130859 × 131072)
    floor (45123.5)     		tx = 45123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726085662841797 × 217)
    floor (0.726085662841797 × 131072)
    floor (95169.5)     		ty = 95169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45123 / 95169 ti = "17/45123/95169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45123/95169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45123 ÷ 217
    45123 ÷ 131072     		x = 0.344261169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95169 ÷ 217
    95169 ÷ 131072     		y = 0.726081848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344261169433594 × 2 - 1) × π
    -0.311477661132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.97853593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726081848144531 × 2 - 1) × π
    -0.452163696289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.42051414644112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97853593} λ = -0.97853593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42051414644112))-π/2
    2×atan(0.241589772438139)-π/2
    2×0.23704762625238-π/2
    0.47409525250476-1.57079632675     		φ = -1.09670107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97853593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.065979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09670107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.836343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45123 KachelY 95169 -0.97853593 -1.09670107 -56.065979 -62.836343
    Oben rechts KachelX + 1 45124 KachelY 95169 -0.97848800 -1.09670107 -56.063233 -62.836343
    Unten links KachelX 45123 KachelY + 1 95170 -0.97853593 -1.09672296 -56.065979 -62.837597
    Unten rechts KachelX + 1 45124 KachelY + 1 95170 -0.97848800 -1.09672296 -56.063233 -62.837597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09670107--1.09672296) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dl = 139.461189999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09670107--1.09672296) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dr = 139.461189999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97853593--0.97848800) × cos(-1.09670107) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456533678561957 × 6371000     		do = 139.408050849132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97853593--0.97848800) × cos(-1.09672296) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456514202785363 × 6371000     		du = 139.402103686455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09670107)-sin(-1.09672296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456533678561957-0.456514202785363)×R²
    abs(-0.97848800--0.97853593)×1.9475776594946e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9475776594946e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9475776594946e-05×40589641000000     		ar = 19441.5979685092m²