Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45122 / 95344
↖ ↑ ↗
← S 63.054959°
W 56.068726°		 ← 138.40 m → S 63.054959°
W 56.065979°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
S 63.056204°
W 56.068726°		 ← 138.39 m →
19 151 m²		 S 63.056204°
W 56.065979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344257354736328 y=0.727420806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344257354736328 × 217)
    floor (0.344257354736328 × 131072)
    floor (45122.5)     		tx = 45122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727420806884766 × 217)
    floor (0.727420806884766 × 131072)
    floor (95344.5)     		ty = 95344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45122 / 95344 ti = "17/45122/95344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45122/95344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45122 ÷ 217
    45122 ÷ 131072     		x = 0.344253540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95344 ÷ 217
    95344 ÷ 131072     		y = 0.7274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344253540039062 × 2 - 1) × π
    -0.311492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97858387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.454833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42890310387463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97858387} λ = -0.97858387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42890310387463))-π/2
    2×atan(0.23957156329197)-π/2
    2×0.235139838565744-π/2
    0.470279677131488-1.57079632675     		φ = -1.10051665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97858387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.068726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10051665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.054959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45122 KachelY 95344 -0.97858387 -1.10051665 -56.068726 -63.054959
    Oben rechts KachelX + 1 45123 KachelY 95344 -0.97853593 -1.10051665 -56.065979 -63.054959
    Unten links KachelX 45122 KachelY + 1 95345 -0.97858387 -1.10053837 -56.068726 -63.056204
    Unten rechts KachelX + 1 45123 KachelY + 1 95345 -0.97853593 -1.10053837 -56.065979 -63.056204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10051665--1.10053837) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dl = 138.378119999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10051665--1.10053837) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dr = 138.378119999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97858387--0.97853593) × cos(-1.10051665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453135618624911 × 6371000     		do = 138.39928163878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97858387--0.97853593) × cos(-1.10053837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453116256406659 × 6371000     		du = 138.393367918943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10051665)-sin(-1.10053837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453135618624911-0.453116256406659)×R²
    abs(-0.97853593--0.97858387)×1.93622182519393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93622182519393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93622182519393e-05×40589641000000     		ar = 19151.023238362m²