Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45122 / 95167
↖ ↑ ↗
← S 62.833835°
W 56.068726°		 ← 139.45 m → S 62.833835°
W 56.065979°		 →
↑
139.46 m
↓
↑
139.46 m
↓
S 62.835089°
W 56.068726°		 ← 139.44 m →
19 447 m²		 S 62.835089°
W 56.065979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344257354736328 y=0.726070404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344257354736328 × 217)
    floor (0.344257354736328 × 131072)
    floor (45122.5)     		tx = 45122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726070404052734 × 217)
    floor (0.726070404052734 × 131072)
    floor (95167.5)     		ty = 95167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45122 / 95167 ti = "17/45122/95167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45122/95167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45122 ÷ 217
    45122 ÷ 131072     		x = 0.344253540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95167 ÷ 217
    95167 ÷ 131072     		y = 0.726066589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344253540039062 × 2 - 1) × π
    -0.311492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97858387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726066589355469 × 2 - 1) × π
    -0.452133178710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.42041827264188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97858387} λ = -0.97858387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42041827264188))-π/2
    2×atan(0.241612935677837)-π/2
    2×0.237069511994721-π/2
    0.474139023989442-1.57079632675     		φ = -1.09665730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97858387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.068726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09665730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.833835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45122 KachelY 95167 -0.97858387 -1.09665730 -56.068726 -62.833835
    Oben rechts KachelX + 1 45123 KachelY 95167 -0.97853593 -1.09665730 -56.065979 -62.833835
    Unten links KachelX 45122 KachelY + 1 95168 -0.97858387 -1.09667919 -56.068726 -62.835089
    Unten rechts KachelX + 1 45123 KachelY + 1 95168 -0.97853593 -1.09667919 -56.065979 -62.835089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09665730--1.09667919) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dl = 139.461189999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09665730--1.09667919) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dr = 139.461189999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97858387--0.97853593) × cos(-1.09665730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456572620562002 × 6371000     		do = 139.449030498797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97858387--0.97853593) × cos(-1.09667919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456553145222833 × 6371000     		du = 139.44308222892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09665730)-sin(-1.09667919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456572620562002-0.456553145222833)×R²
    abs(-0.97853593--0.97858387)×1.94753391691282e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94753391691282e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94753391691282e-05×40589641000000     		ar = 19447.3129621224m²