Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45122 / 78122
↖ ↑ ↗
← S 32.644001°
W 56.068726°		 ← 257.18 m → S 32.644001°
W 56.065979°		 →
↑
257.13 m
↓
↑
257.13 m
↓
S 32.646313°
W 56.068726°		 ← 257.17 m →
66 129 m²		 S 32.646313°
W 56.065979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344257354736328 y=0.596027374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344257354736328 × 217)
    floor (0.344257354736328 × 131072)
    floor (45122.5)     		tx = 45122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596027374267578 × 217)
    floor (0.596027374267578 × 131072)
    floor (78122.5)     		ty = 78122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45122 / 78122 ti = "17/45122/78122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45122/78122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45122 ÷ 217
    45122 ÷ 131072     		x = 0.344253540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78122 ÷ 217
    78122 ÷ 131072     		y = 0.596023559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344253540039062 × 2 - 1) × π
    -0.311492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97858387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596023559570312 × 2 - 1) × π
    -0.192047119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.603333818618027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97858387} λ = -0.97858387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603333818618027))-π/2
    2×atan(0.546985044098808)-π/2
    2×0.500525518982242-π/2
    1.00105103796448-1.57079632675     		φ = -0.56974529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97858387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.068726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56974529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.644001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45122 KachelY 78122 -0.97858387 -0.56974529 -56.068726 -32.644001
    Oben rechts KachelX + 1 45123 KachelY 78122 -0.97853593 -0.56974529 -56.065979 -32.644001
    Unten links KachelX 45122 KachelY + 1 78123 -0.97858387 -0.56978565 -56.068726 -32.646313
    Unten rechts KachelX + 1 45123 KachelY + 1 78123 -0.97853593 -0.56978565 -56.065979 -32.646313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56974529--0.56978565) × R
    4.03600000000726e-05 × 6371000     		dl = 257.133560000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56974529--0.56978565) × R
    4.03600000000726e-05 × 6371000     		dr = 257.133560000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97858387--0.97853593) × cos(-0.56974529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842038397529833 × 6371000     		do = 257.180200673795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97858387--0.97853593) × cos(-0.56978565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842016625950071 × 6371000     		du = 257.173551072935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56974529)-sin(-0.56978565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842038397529833-0.842016625950071)×R²
    abs(-0.97853593--0.97858387)×2.17715797627971e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17715797627971e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17715797627971e-05×40589641000000     		ar = 66128.8056520574m²