Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45121 / 78120
↖ ↑ ↗
← S 32.639375°
W 56.071472°		 ← 257.19 m → S 32.639375°
W 56.068726°		 →
↑
257.13 m
↓
↑
257.13 m
↓
S 32.641687°
W 56.071472°		 ← 257.19 m →
66 132 m²		 S 32.641687°
W 56.068726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344249725341797 y=0.596012115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344249725341797 × 217)
    floor (0.344249725341797 × 131072)
    floor (45121.5)     		tx = 45121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596012115478516 × 217)
    floor (0.596012115478516 × 131072)
    floor (78120.5)     		ty = 78120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45121 / 78120 ti = "17/45121/78120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45121/78120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45121 ÷ 217
    45121 ÷ 131072     		x = 0.344245910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78120 ÷ 217
    78120 ÷ 131072     		y = 0.59600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344245910644531 × 2 - 1) × π
    -0.311508178710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.97863181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1920166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.603237944818787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97863181} λ = -0.97863181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603237944818787))-π/2
    2×atan(0.547037488147078)-π/2
    2×0.500565884736136-π/2
    1.00113176947227-1.57079632675     		φ = -0.56966456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97863181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.071472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56966456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.639375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45121 KachelY 78120 -0.97863181 -0.56966456 -56.071472 -32.639375
    Oben rechts KachelX + 1 45122 KachelY 78120 -0.97858387 -0.56966456 -56.068726 -32.639375
    Unten links KachelX 45121 KachelY + 1 78121 -0.97863181 -0.56970492 -56.071472 -32.641687
    Unten rechts KachelX + 1 45122 KachelY + 1 78121 -0.97858387 -0.56970492 -56.068726 -32.641687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56966456--0.56970492) × R
    4.03599999999615e-05 × 6371000     		dl = 257.133559999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56966456--0.56970492) × R
    4.03599999999615e-05 × 6371000     		dr = 257.133559999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97863181--0.97858387) × cos(-0.56966456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842081941967956 × 6371000     		do = 257.193500266031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97863181--0.97858387) × cos(-0.56970492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842060173131811 × 6371000     		du = 257.186851503143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56966456)-sin(-0.56970492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842081941967956-0.842060173131811)×R²
    abs(-0.97858387--0.97863181)×2.17688361447976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17688361447976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17688361447976e-05×40589641000000     		ar = 66132.2255311281m²