Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4512 / 6496
↖ ↑ ↗
← S 71.965388°
E 18.281250°		 ← 1 512.82 m → S 71.965388°
E 18.325195°		 →
↑
1 512.28 m
↓
↑
1 512.28 m
↓
S 71.978988°
E 18.281250°		 ← 1 511.71 m →
2 286 975 m²		 S 71.978988°
E 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55084228515625 y=0.79302978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55084228515625 × 213)
    floor (0.55084228515625 × 8192)
    floor (4512.5)     		tx = 4512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79302978515625 × 213)
    floor (0.79302978515625 × 8192)
    floor (6496.5)     		ty = 6496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4512 / 6496 ti = "13/4512/6496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4512/6496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4512 ÷ 213
    4512 ÷ 8192     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6496 ÷ 213
    6496 ÷ 8192     		y = 0.79296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79296875 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84077694541016))-π/2
    2×atan(0.158694081558849)-π/2
    2×0.157381681993559-π/2
    0.314763363987118-1.57079632675     		φ = -1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4512 KachelY 6496 0.31906800 -1.25603296 18.281250 -71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 4513 KachelY 6496 0.31983499 -1.25603296 18.325195 -71.965388
    Unten links KachelX 4512 KachelY + 1 6497 0.31906800 -1.25627033 18.281250 -71.978988
    Unten rechts KachelX + 1 4513 KachelY + 1 6497 0.31983499 -1.25627033 18.325195 -71.978988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25603296--1.25627033) × R
    0.000237370000000015 × 6371000     		dl = 1512.28427000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25603296--1.25627033) × R
    0.000237370000000015 × 6371000     		dr = 1512.28427000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.31983499) × cos(-1.25603296) × R
    0.000766989999999967 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 1512.81665331063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.31983499) × cos(-1.25627033) × R
    0.000766989999999967 × 0.309365755908841 × 6371000     		du = 1511.71369040426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25603296)-sin(-1.25627033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.309365755908841)×R²
    abs(0.31983499-0.31906800)×0.000225716652189956×R²
    0.000766989999999967×0.000225716652189956×6371000²
    0.000766989999999967×0.000225716652189956×40589641000000     		ar = 2286974.84220612m²