Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4512 / 5917
↖ ↑ ↗
← S 62.206512°
E 18.281250°		 ← 2 278.50 m → S 62.206512°
E 18.325195°		 →
↑
2 277.70 m
↓
↑
2 277.70 m
↓
S 62.226996°
E 18.281250°		 ← 2 276.96 m →
5 187 980 m²		 S 62.226996°
E 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55084228515625 y=0.72235107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55084228515625 × 213)
    floor (0.55084228515625 × 8192)
    floor (4512.5)     		tx = 4512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72235107421875 × 213)
    floor (0.72235107421875 × 8192)
    floor (5917.5)     		ty = 5917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4512 / 5917 ti = "13/4512/5917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4512/5917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4512 ÷ 213
    4512 ÷ 8192     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5917 ÷ 213
    5917 ÷ 8192     		y = 0.7222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39668950732996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39668950732996))-π/2
    2×atan(0.247414674148214)-π/2
    2×0.242543939002547-π/2
    0.485087878005094-1.57079632675     		φ = -1.08570845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08570845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.206512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4512 KachelY 5917 0.31906800 -1.08570845 18.281250 -62.206512
    Oben rechts KachelX + 1 4513 KachelY 5917 0.31983499 -1.08570845 18.325195 -62.206512
    Unten links KachelX 4512 KachelY + 1 5918 0.31906800 -1.08606596 18.281250 -62.226996
    Unten rechts KachelX + 1 4513 KachelY + 1 5918 0.31983499 -1.08606596 18.325195 -62.226996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08570845--1.08606596) × R
    0.00035750999999995 × 6371000     		dl = 2277.69620999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08570845--1.08606596) × R
    0.00035750999999995 × 6371000     		dr = 2277.69620999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.31983499) × cos(-1.08570845) × R
    0.000766989999999967 × 0.466286100047518 × 6371000     		do = 2278.50389910237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.31983499) × cos(-1.08606596) × R
    0.000766989999999967 × 0.465969804762405 × 6371000     		du = 2276.95832431401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08570845)-sin(-1.08606596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466286100047518-0.465969804762405)×R²
    abs(0.31983499-0.31906800)×0.000316295285112844×R²
    0.000766989999999967×0.000316295285112844×6371000²
    0.000766989999999967×0.000316295285112844×40589641000000     		ar = 5187979.57579526m²