Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45118 / 95206
↖ ↑ ↗
← S 62.882701°
W 56.079712°		 ← 139.22 m → S 62.882701°
W 56.076965°		 →
↑
139.21 m
↓
↑
139.21 m
↓
S 62.883953°
W 56.079712°		 ← 139.21 m →
19 380 m²		 S 62.883953°
W 56.076965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344226837158203 y=0.726367950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344226837158203 × 217)
    floor (0.344226837158203 × 131072)
    floor (45118.5)     		tx = 45118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726367950439453 × 217)
    floor (0.726367950439453 × 131072)
    floor (95206.5)     		ty = 95206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45118 / 95206 ti = "17/45118/95206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45118/95206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45118 ÷ 217
    45118 ÷ 131072     		x = 0.344223022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95206 ÷ 217
    95206 ÷ 131072     		y = 0.726364135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344223022460938 × 2 - 1) × π
    -0.311553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97877562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726364135742188 × 2 - 1) × π
    -0.452728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42228781172707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97877562} λ = -0.97877562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42228781172707))-π/2
    2×atan(0.241161652828007)-π/2
    2×0.236643076613078-π/2
    0.473286153226157-1.57079632675     		φ = -1.09751017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97877562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.079712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09751017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.882701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45118 KachelY 95206 -0.97877562 -1.09751017 -56.079712 -62.882701
    Oben rechts KachelX + 1 45119 KachelY 95206 -0.97872768 -1.09751017 -56.076965 -62.882701
    Unten links KachelX 45118 KachelY + 1 95207 -0.97877562 -1.09753202 -56.079712 -62.883953
    Unten rechts KachelX + 1 45119 KachelY + 1 95207 -0.97872768 -1.09753202 -56.076965 -62.883953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09751017--1.09753202) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dl = 139.206349999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09751017--1.09753202) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dr = 139.206349999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97877562--0.97872768) × cos(-1.09751017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455813667976307 × 6371000     		do = 139.217226843686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97877562--0.97872768) × cos(-1.09753202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455794219723909 × 6371000     		du = 139.211286846806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09751017)-sin(-1.09753202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455813667976307-0.455794219723909)×R²
    abs(-0.97872768--0.97877562)×1.94482523980244e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94482523980244e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94482523980244e-05×40589641000000     		ar = 19379.5085641886m²