Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45117 / 77788
↖ ↑ ↗
← S 31.868228°
W 56.082458°		 ← 259.33 m → S 31.868228°
W 56.079712°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
S 31.870560°
W 56.082458°		 ← 259.33 m →
67 261 m²		 S 31.870560°
W 56.079712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344219207763672 y=0.593479156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344219207763672 × 217)
    floor (0.344219207763672 × 131072)
    floor (45117.5)     		tx = 45117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593479156494141 × 217)
    floor (0.593479156494141 × 131072)
    floor (77788.5)     		ty = 77788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45117 / 77788 ti = "17/45117/77788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45117/77788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45117 ÷ 217
    45117 ÷ 131072     		x = 0.344215393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77788 ÷ 217
    77788 ÷ 131072     		y = 0.593475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344215393066406 × 2 - 1) × π
    -0.311569213867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.97882355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.18695068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.587322894144928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97882355} λ = -0.97882355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587322894144928))-π/2
    2×atan(0.55581326573082)-π/2
    2×0.507295412320579-π/2
    1.01459082464116-1.57079632675     		φ = -0.55620550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97882355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.082458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55620550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.868228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45117 KachelY 77788 -0.97882355 -0.55620550 -56.082458 -31.868228
    Oben rechts KachelX + 1 45118 KachelY 77788 -0.97877562 -0.55620550 -56.079712 -31.868228
    Unten links KachelX 45117 KachelY + 1 77789 -0.97882355 -0.55624621 -56.082458 -31.870560
    Unten rechts KachelX + 1 45118 KachelY + 1 77789 -0.97877562 -0.55624621 -56.079712 -31.870560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55620550--0.55624621) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dl = 259.363409999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55620550--0.55624621) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dr = 259.363409999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97882355--0.97877562) × cos(-0.55620550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.849264592724852 × 6371000     		do = 259.333160041743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97882355--0.97877562) × cos(-0.55624621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.849243098465326 × 6371000     		du = 259.326596511021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55620550)-sin(-0.55624621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849264592724852-0.849243098465326)×R²
    abs(-0.97877562--0.97882355)×2.14942595260226e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14942595260226e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14942595260226e-05×40589641000000     		ar = 67260.6815537528m²