Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45115 / 95224
↖ ↑ ↗
← S 62.905227°
W 56.087952°		 ← 139.11 m → S 62.905227°
W 56.085205°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
S 62.906478°
W 56.087952°		 ← 139.10 m →
19 347 m²		 S 62.906478°
W 56.085205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344203948974609 y=0.726505279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344203948974609 × 217)
    floor (0.344203948974609 × 131072)
    floor (45115.5)     		tx = 45115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726505279541016 × 217)
    floor (0.726505279541016 × 131072)
    floor (95224.5)     		ty = 95224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45115 / 95224 ti = "17/45115/95224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45115/95224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45115 ÷ 217
    45115 ÷ 131072     		x = 0.344200134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95224 ÷ 217
    95224 ÷ 131072     		y = 0.72650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344200134277344 × 2 - 1) × π
    -0.311599731445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.97891943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.4530029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42315067592023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97891943} λ = -0.97891943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42315067592023))-π/2
    2×atan(0.240953652823801)-π/2
    2×0.236446499469756-π/2
    0.472892998939513-1.57079632675     		φ = -1.09790333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97891943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.087952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09790333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.905227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45115 KachelY 95224 -0.97891943 -1.09790333 -56.087952 -62.905227
    Oben rechts KachelX + 1 45116 KachelY 95224 -0.97887149 -1.09790333 -56.085205 -62.905227
    Unten links KachelX 45115 KachelY + 1 95225 -0.97891943 -1.09792516 -56.087952 -62.906478
    Unten rechts KachelX + 1 45116 KachelY + 1 95225 -0.97887149 -1.09792516 -56.085205 -62.906478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09790333--1.09792516) × R
    2.18299999998894e-05 × 6371000     		dl = 139.078929999296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09790333--1.09792516) × R
    2.18299999998894e-05 × 6371000     		dr = 139.078929999296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97891943--0.97887149) × cos(-1.09790333) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.455463690782553 × 6371000     		do = 139.110334800623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97891943--0.97887149) × cos(-1.09792516) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.455444256421339 × 6371000     		du = 139.104399046468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09790333)-sin(-1.09792516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455463690782553-0.455444256421339)×R²
    abs(-0.97887149--0.97891943)×1.94343612133219e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94343612133219e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94343612133219e-05×40589641000000     		ar = 19346.9037473742m²