Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45114 / 95434
↖ ↑ ↗
← S 63.166756°
W 56.090698°		 ← 137.84 m → S 63.166756°
W 56.087952°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
S 63.167995°
W 56.090698°		 ← 137.83 m →
18 994 m²		 S 63.167995°
W 56.087952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344196319580078 y=0.728107452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344196319580078 × 217)
    floor (0.344196319580078 × 131072)
    floor (45114.5)     		tx = 45114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728107452392578 × 217)
    floor (0.728107452392578 × 131072)
    floor (95434.5)     		ty = 95434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45114 / 95434 ti = "17/45114/95434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45114/95434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45114 ÷ 217
    45114 ÷ 131072     		x = 0.344192504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95434 ÷ 217
    95434 ÷ 131072     		y = 0.728103637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344192504882812 × 2 - 1) × π
    -0.311614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97896736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728103637695312 × 2 - 1) × π
    -0.456207275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43321742484044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97896736} λ = -0.97896736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43321742484044))-π/2
    2×atan(0.2385402010872)-π/2
    2×0.234164230216465-π/2
    0.468328460432929-1.57079632675     		φ = -1.10246787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97896736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.090698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10246787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.166756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45114 KachelY 95434 -0.97896736 -1.10246787 -56.090698 -63.166756
    Oben rechts KachelX + 1 45115 KachelY 95434 -0.97891943 -1.10246787 -56.087952 -63.166756
    Unten links KachelX 45114 KachelY + 1 95435 -0.97896736 -1.10248950 -56.090698 -63.167995
    Unten rechts KachelX + 1 45115 KachelY + 1 95435 -0.97891943 -1.10248950 -56.087952 -63.167995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10246787--1.10248950) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10246787--1.10248950) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97896736--0.97891943) × cos(-1.10246787) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.451395358464215 × 6371000     		do = 137.839002992975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97896736--0.97891943) × cos(-1.10248950) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.451376057389176 × 6371000     		du = 137.83310917752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10246787)-sin(-1.10248950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451395358464215-0.451376057389176)×R²
    abs(-0.97891943--0.97896736)×1.9301075038447e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.9301075038447e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.9301075038447e-05×40589641000000     		ar = 18994.4604938736m²