Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45114 / 77797
↖ ↑ ↗
← S 31.889219°
W 56.090698°		 ← 259.27 m → S 31.889219°
W 56.087952°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
S 31.891551°
W 56.090698°		 ← 259.27 m →
67 229 m²		 S 31.891551°
W 56.087952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344196319580078 y=0.593547821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344196319580078 × 217)
    floor (0.344196319580078 × 131072)
    floor (45114.5)     		tx = 45114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593547821044922 × 217)
    floor (0.593547821044922 × 131072)
    floor (77797.5)     		ty = 77797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45114 / 77797 ti = "17/45114/77797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45114/77797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45114 ÷ 217
    45114 ÷ 131072     		x = 0.344192504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77797 ÷ 217
    77797 ÷ 131072     		y = 0.593544006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344192504882812 × 2 - 1) × π
    -0.311614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97896736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593544006347656 × 2 - 1) × π
    -0.187088012695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.587754326241508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97896736} λ = -0.97896736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587754326241508))-π/2
    2×atan(0.555573521768617)-π/2
    2×0.507112233186285-π/2
    1.01422446637257-1.57079632675     		φ = -0.55657186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97896736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.090698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55657186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.889219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45114 KachelY 77797 -0.97896736 -0.55657186 -56.090698 -31.889219
    Oben rechts KachelX + 1 45115 KachelY 77797 -0.97891943 -0.55657186 -56.087952 -31.889219
    Unten links KachelX 45114 KachelY + 1 77798 -0.97896736 -0.55661256 -56.090698 -31.891551
    Unten rechts KachelX + 1 45115 KachelY + 1 77798 -0.97891943 -0.55661256 -56.087952 -31.891551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55657186--0.55661256) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55657186--0.55661256) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97896736--0.97891943) × cos(-0.55657186) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.849071109572121 × 6371000     		do = 259.274077632854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97896736--0.97891943) × cos(-0.55661256) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.84904960793096 × 6371000     		du = 259.26751184806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55657186)-sin(-0.55661256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849071109572121-0.84904960793096)×R²
    abs(-0.97891943--0.97896736)×2.15016411616586e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.15016411616586e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.15016411616586e-05×40589641000000     		ar = 67228.8393043611m²