Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45113 / 77804
↖ ↑ ↗
← S 31.905542°
W 56.093445°		 ← 259.28 m → S 31.905542°
W 56.090698°		 →
↑
259.24 m
↓
↑
259.24 m
↓
S 31.907873°
W 56.093445°		 ← 259.28 m →
67 214 m²		 S 31.907873°
W 56.090698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344188690185547 y=0.593601226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344188690185547 × 217)
    floor (0.344188690185547 × 131072)
    floor (45113.5)     		tx = 45113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593601226806641 × 217)
    floor (0.593601226806641 × 131072)
    floor (77804.5)     		ty = 77804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45113 / 77804 ti = "17/45113/77804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45113/77804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45113 ÷ 217
    45113 ÷ 131072     		x = 0.344184875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77804 ÷ 217
    77804 ÷ 131072     		y = 0.593597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344184875488281 × 2 - 1) × π
    -0.311630249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.97901530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.18719482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.588089884538849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97901530} λ = -0.97901530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.588089884538849))-π/2
    2×atan(0.555387125738721)-π/2
    2×0.50696978938608-π/2
    1.01393957877216-1.57079632675     		φ = -0.55685675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97901530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.093445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55685675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.905542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45113 KachelY 77804 -0.97901530 -0.55685675 -56.093445 -31.905542
    Oben rechts KachelX + 1 45114 KachelY 77804 -0.97896736 -0.55685675 -56.090698 -31.905542
    Unten links KachelX 45113 KachelY + 1 77805 -0.97901530 -0.55689744 -56.093445 -31.907873
    Unten rechts KachelX + 1 45114 KachelY + 1 77805 -0.97896736 -0.55689744 -56.090698 -31.907873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55685675--0.55689744) × R
    4.06899999999544e-05 × 6371000     		dl = 259.235989999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55685675--0.55689744) × R
    4.06899999999544e-05 × 6371000     		dr = 259.235989999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97901530--0.97896736) × cos(-0.55685675) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.848920573835155 × 6371000     		do = 259.282194465257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97901530--0.97896736) × cos(-0.55689744) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.848899067635541 × 6371000     		du = 259.275625918326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55685675)-sin(-0.55689744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848920573835155-0.848899067635541)×R²
    abs(-0.97896736--0.97901530)×2.15061996134969e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.15061996134969e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.15061996134969e-05×40589641000000     		ar = 67214.4249789771m²