Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45112 / 95416
↖ ↑ ↗
← S 63.144431°
W 56.096192°		 ← 137.97 m → S 63.144431°
W 56.093445°		 →
↑
138 m
↓
↑
138 m
↓
S 63.145672°
W 56.096192°		 ← 137.97 m →
19 039 m²		 S 63.145672°
W 56.093445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344181060791016 y=0.727970123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344181060791016 × 217)
    floor (0.344181060791016 × 131072)
    floor (45112.5)     		tx = 45112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727970123291016 × 217)
    floor (0.727970123291016 × 131072)
    floor (95416.5)     		ty = 95416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45112 / 95416 ti = "17/45112/95416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45112/95416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45112 ÷ 217
    45112 ÷ 131072     		x = 0.34417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95416 ÷ 217
    95416 ÷ 131072     		y = 0.72796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.3116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97906324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.4559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43235456064728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97906324} λ = -0.97906324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43235456064728))-π/2
    2×atan(0.238746117711612)-π/2
    2×0.234359051651021-π/2
    0.468718103302042-1.57079632675     		φ = -1.10207822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97906324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.096192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10207822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.144431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45112 KachelY 95416 -0.97906324 -1.10207822 -56.096192 -63.144431
    Oben rechts KachelX + 1 45113 KachelY 95416 -0.97901530 -1.10207822 -56.093445 -63.144431
    Unten links KachelX 45112 KachelY + 1 95417 -0.97906324 -1.10209988 -56.096192 -63.145672
    Unten rechts KachelX + 1 45113 KachelY + 1 95417 -0.97901530 -1.10209988 -56.093445 -63.145672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10207822--1.10209988) × R
    2.16599999998124e-05 × 6371000     		dl = 137.995859998805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10207822--1.10209988) × R
    2.16599999998124e-05 × 6371000     		dr = 137.995859998805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97906324--0.97901530) × cos(-1.10207822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451743018258869 × 6371000     		do = 137.973945641458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97906324--0.97901530) × cos(-1.10209988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451723694224897 × 6371000     		du = 137.968043584082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10207822)-sin(-1.10209988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451743018258869-0.451723694224897)×R²
    abs(-0.97901530--0.97906324)×1.93240339725342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93240339725342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93240339725342e-05×40589641000000     		ar = 19039.4260572613m²