Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45110 / 95221
↖ ↑ ↗
← S 62.901474°
W 56.101684°		 ← 139.13 m → S 62.901474°
W 56.098938°		 →
↑
139.14 m
↓
↑
139.14 m
↓
S 62.902725°
W 56.101684°		 ← 139.12 m →
19 358 m²		 S 62.902725°
W 56.098938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344165802001953 y=0.726482391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344165802001953 × 217)
    floor (0.344165802001953 × 131072)
    floor (45110.5)     		tx = 45110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726482391357422 × 217)
    floor (0.726482391357422 × 131072)
    floor (95221.5)     		ty = 95221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45110 / 95221 ti = "17/45110/95221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45110/95221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45110 ÷ 217
    45110 ÷ 131072     		x = 0.344161987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95221 ÷ 217
    95221 ÷ 131072     		y = 0.726478576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344161987304688 × 2 - 1) × π
    -0.311676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97915911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726478576660156 × 2 - 1) × π
    -0.452957153320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.42300686522137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97915911} λ = -0.97915911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42300686522137))-π/2
    2×atan(0.24098830702877)-π/2
    2×0.236479251842276-π/2
    0.472958503684552-1.57079632675     		φ = -1.09783782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97915911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.101684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09783782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.901474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45110 KachelY 95221 -0.97915911 -1.09783782 -56.101684 -62.901474
    Oben rechts KachelX + 1 45111 KachelY 95221 -0.97911117 -1.09783782 -56.098938 -62.901474
    Unten links KachelX 45110 KachelY + 1 95222 -0.97915911 -1.09785966 -56.101684 -62.902725
    Unten rechts KachelX + 1 45111 KachelY + 1 95222 -0.97911117 -1.09785966 -56.098938 -62.902725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09783782--1.09785966) × R
    2.18399999998287e-05 × 6371000     		dl = 139.142639998908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09783782--1.09785966) × R
    2.18399999998287e-05 × 6371000     		dr = 139.142639998908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97915911--0.97911117) × cos(-1.09783782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455522010368342 × 6371000     		do = 139.128147102947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97915911--0.97911117) × cos(-1.09785966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455502567756163 × 6371000     		du = 139.122208828735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09783782)-sin(-1.09785966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455522010368342-0.455502567756163)×R²
    abs(-0.97911117--0.97915911)×1.94426121791214e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94426121791214e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94426121791214e-05×40589641000000     		ar = 19358.2445532028m²