Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4511 / 2457
↖ ↑ ↗
← N 82.080631°
W130.440674°		 ← 168.32 m → N 82.080631°
W130.429688°		 →
↑
168.32 m
↓
↑
168.32 m
↓
N 82.079117°
W130.440674°		 ← 168.35 m →
28 334 m²		 N 82.079117°
W130.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137680053710938 y=0.0749969482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137680053710938 × 215)
    floor (0.137680053710938 × 32768)
    floor (4511.5)     		tx = 4511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0749969482421875 × 215)
    floor (0.0749969482421875 × 32768)
    floor (2457.5)     		ty = 2457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4511 / 2457 ti = "15/4511/2457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4511/2457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4511 ÷ 215
    4511 ÷ 32768     		x = 0.137664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2457 ÷ 215
    2457 ÷ 32768     		y = 0.074981689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.72467041015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27661924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.074981689453125 × 2 - 1) × π
    0.85003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.67046880403409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27661924} λ = -2.27661924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67046880403409))-π/2
    2×atan(14.4467402956487)-π/2
    2×1.50168679551107-π/2
    3.00337359102215-1.57079632675     		φ = 1.43257726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27661924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.440674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43257726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.080631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4511 KachelY 2457 -2.27661924 1.43257726 -130.440674 82.080631
    Oben rechts KachelX + 1 4512 KachelY 2457 -2.27642749 1.43257726 -130.429688 82.080631
    Unten links KachelX 4511 KachelY + 1 2458 -2.27661924 1.43255084 -130.440674 82.079117
    Unten rechts KachelX + 1 4512 KachelY + 1 2458 -2.27642749 1.43255084 -130.429688 82.079117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43257726-1.43255084) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dl = 168.321819999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43257726-1.43255084) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dr = 168.321819999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27661924--2.27642749) × cos(1.43257726) × R
    0.000191749999999935 × 0.137779385732583 × 6371000     		do = 168.316705451757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27661924--2.27642749) × cos(1.43255084) × R
    0.000191749999999935 × 0.13780555371544 × 6371000     		du = 168.348673286708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43257726)-sin(1.43255084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137779385732583-0.13780555371544)×R²
    abs(-2.27642749--2.27661924)×2.61679828570116e-05×R²
    0.000191749999999935×2.61679828570116e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.61679828570116e-05×40589641000000     		ar = 28334.0646421649m²