Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45105 / 77859
↖ ↑ ↗
← S 32.033692°
W 56.115418°		 ← 258.92 m → S 32.033692°
W 56.112671°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
S 32.036020°
W 56.115418°		 ← 258.91 m →
67 038 m²		 S 32.036020°
W 56.112671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344127655029297 y=0.594020843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344127655029297 × 217)
    floor (0.344127655029297 × 131072)
    floor (45105.5)     		tx = 45105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594020843505859 × 217)
    floor (0.594020843505859 × 131072)
    floor (77859.5)     		ty = 77859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45105 / 77859 ti = "17/45105/77859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45105/77859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45105 ÷ 217
    45105 ÷ 131072     		x = 0.344123840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77859 ÷ 217
    77859 ÷ 131072     		y = 0.594017028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344123840332031 × 2 - 1) × π
    -0.311752319335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.97939880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594017028808594 × 2 - 1) × π
    -0.188034057617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.590726414017952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97939880} λ = -0.97939880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590726414017952))-π/2
    2×atan(0.553924759841905)-π/2
    2×0.505851467608062-π/2
    1.01170293521612-1.57079632675     		φ = -0.55909339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97939880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.115418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55909339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.033692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45105 KachelY 77859 -0.97939880 -0.55909339 -56.115418 -32.033692
    Oben rechts KachelX + 1 45106 KachelY 77859 -0.97935086 -0.55909339 -56.112671 -32.033692
    Unten links KachelX 45105 KachelY + 1 77860 -0.97939880 -0.55913403 -56.115418 -32.036020
    Unten rechts KachelX + 1 45106 KachelY + 1 77860 -0.97935086 -0.55913403 -56.112671 -32.036020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55909339--0.55913403) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dl = 258.917439999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55909339--0.55913403) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dr = 258.917439999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97939880--0.97935086) × cos(-0.55909339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847736341469216 × 6371000     		do = 258.920499417958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97939880--0.97935086) × cos(-0.55913403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847714784587742 × 6371000     		du = 258.913915391482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55909339)-sin(-0.55913403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847736341469216-0.847714784587742)×R²
    abs(-0.97935086--0.97939880)×2.15568814733169e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15568814733169e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15568814733169e-05×40589641000000     		ar = 67038.1805223601m²