Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45105 / 77857
↖ ↑ ↗
← S 32.029035°
W 56.115418°		 ← 258.93 m → S 32.029035°
W 56.112671°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
S 32.031363°
W 56.115418°		 ← 258.93 m →
67 042 m²		 S 32.031363°
W 56.112671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344127655029297 y=0.594005584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344127655029297 × 217)
    floor (0.344127655029297 × 131072)
    floor (45105.5)     		tx = 45105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594005584716797 × 217)
    floor (0.594005584716797 × 131072)
    floor (77857.5)     		ty = 77857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45105 / 77857 ti = "17/45105/77857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45105/77857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45105 ÷ 217
    45105 ÷ 131072     		x = 0.344123840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77857 ÷ 217
    77857 ÷ 131072     		y = 0.594001770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344123840332031 × 2 - 1) × π
    -0.311752319335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.97939880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594001770019531 × 2 - 1) × π
    -0.188003540039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.590630540218712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97939880} λ = -0.97939880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590630540218712))-π/2
    2×atan(0.553977869258985)-π/2
    2×0.505892106493181-π/2
    1.01178421298636-1.57079632675     		φ = -0.55901211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97939880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.115418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55901211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.029035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45105 KachelY 77857 -0.97939880 -0.55901211 -56.115418 -32.029035
    Oben rechts KachelX + 1 45106 KachelY 77857 -0.97935086 -0.55901211 -56.112671 -32.029035
    Unten links KachelX 45105 KachelY + 1 77858 -0.97939880 -0.55905275 -56.115418 -32.031363
    Unten rechts KachelX + 1 45106 KachelY + 1 77858 -0.97935086 -0.55905275 -56.112671 -32.031363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55901211--0.55905275) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dl = 258.917440000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55901211--0.55905275) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dr = 258.917440000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97939880--0.97935086) × cos(-0.55901211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847779451031738 × 6371000     		do = 258.933666187993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97939880--0.97935086) × cos(-0.55905275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84775789695056 × 6371000     		du = 258.927083016799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55901211)-sin(-0.55905275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847779451031738-0.84775789695056)×R²
    abs(-0.97935086--0.97939880)×2.15540811787651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15540811787651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15540811787651e-05×40589641000000     		ar = 67041.5897394714m²