Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45103 / 77858
↖ ↑ ↗
← S 32.031363°
W 56.120911°		 ← 258.93 m → S 32.031363°
W 56.118164°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
S 32.033692°
W 56.120911°		 ← 258.92 m →
67 040 m²		 S 32.033692°
W 56.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344112396240234 y=0.594013214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344112396240234 × 217)
    floor (0.344112396240234 × 131072)
    floor (45103.5)     		tx = 45103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594013214111328 × 217)
    floor (0.594013214111328 × 131072)
    floor (77858.5)     		ty = 77858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45103 / 77858 ti = "17/45103/77858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45103/77858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45103 ÷ 217
    45103 ÷ 131072     		x = 0.344108581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77858 ÷ 217
    77858 ÷ 131072     		y = 0.594009399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344108581542969 × 2 - 1) × π
    -0.311782836914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.97949467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594009399414062 × 2 - 1) × π
    -0.188018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.590678477118332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97949467} λ = -0.97949467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590678477118332))-π/2
    2×atan(0.55395131391397)-π/2
    2×0.505871786792311-π/2
    1.01174357358462-1.57079632675     		φ = -0.55905275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97949467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.120911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55905275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.031363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45103 KachelY 77858 -0.97949467 -0.55905275 -56.120911 -32.031363
    Oben rechts KachelX + 1 45104 KachelY 77858 -0.97944673 -0.55905275 -56.118164 -32.031363
    Unten links KachelX 45103 KachelY + 1 77859 -0.97949467 -0.55909339 -56.120911 -32.033692
    Unten rechts KachelX + 1 45104 KachelY + 1 77859 -0.97944673 -0.55909339 -56.118164 -32.033692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55905275--0.55909339) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dl = 258.917440000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55905275--0.55909339) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dr = 258.917440000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97949467--0.97944673) × cos(-0.55905275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84775789695056 × 6371000     		do = 258.927083016799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97949467--0.97944673) × cos(-0.55909339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847736341469216 × 6371000     		du = 258.920499417958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55905275)-sin(-0.55909339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84775789695056-0.847736341469216)×R²
    abs(-0.97944673--0.97949467)×2.15554813439711e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15554813439711e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15554813439711e-05×40589641000000     		ar = 67039.8851863286m²