Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45103 / 77855
↖ ↑ ↗
← S 32.024378°
W 56.120911°		 ← 258.95 m → S 32.024378°
W 56.118164°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
S 32.026706°
W 56.120911°		 ← 258.94 m →
67 045 m²		 S 32.026706°
W 56.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344112396240234 y=0.593990325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344112396240234 × 217)
    floor (0.344112396240234 × 131072)
    floor (45103.5)     		tx = 45103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593990325927734 × 217)
    floor (0.593990325927734 × 131072)
    floor (77855.5)     		ty = 77855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45103 / 77855 ti = "17/45103/77855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45103/77855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45103 ÷ 217
    45103 ÷ 131072     		x = 0.344108581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77855 ÷ 217
    77855 ÷ 131072     		y = 0.593986511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344108581542969 × 2 - 1) × π
    -0.311782836914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.97949467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593986511230469 × 2 - 1) × π
    -0.187973022460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.590534666419472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97949467} λ = -0.97949467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590534666419472))-π/2
    2×atan(0.55403098376811)-π/2
    2×0.505932747444702-π/2
    1.0118654948894-1.57079632675     		φ = -0.55893083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97949467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.120911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55893083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.024378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45103 KachelY 77855 -0.97949467 -0.55893083 -56.120911 -32.024378
    Oben rechts KachelX + 1 45104 KachelY 77855 -0.97944673 -0.55893083 -56.118164 -32.024378
    Unten links KachelX 45103 KachelY + 1 77856 -0.97949467 -0.55897147 -56.120911 -32.026706
    Unten rechts KachelX + 1 45104 KachelY + 1 77856 -0.97944673 -0.55897147 -56.118164 -32.026706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55893083--0.55897147) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dl = 258.917440000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55893083--0.55897147) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dr = 258.917440000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97949467--0.97944673) × cos(-0.55893083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847822554993458 × 6371000     		do = 258.946831247398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97949467--0.97944673) × cos(-0.55897147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847801003712716 × 6371000     		du = 258.940248931529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55893083)-sin(-0.55897147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847822554993458-0.847801003712716)×R²
    abs(-0.97944673--0.97949467)×2.15512807418827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15512807418827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15512807418827e-05×40589641000000     		ar = 67044.9985137116m²