Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45100 / 77854
↖ ↑ ↗
← S 32.022049°
W 56.129150°		 ← 258.95 m → S 32.022049°
W 56.126404°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
S 32.024378°
W 56.129150°		 ← 258.95 m →
67 047 m²		 S 32.024378°
W 56.126404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344089508056641 y=0.593982696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344089508056641 × 217)
    floor (0.344089508056641 × 131072)
    floor (45100.5)     		tx = 45100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593982696533203 × 217)
    floor (0.593982696533203 × 131072)
    floor (77854.5)     		ty = 77854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45100 / 77854 ti = "17/45100/77854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45100/77854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45100 ÷ 217
    45100 ÷ 131072     		x = 0.344085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77854 ÷ 217
    77854 ÷ 131072     		y = 0.593978881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.31182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97963848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.187957763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.590486729519852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97963848} λ = -0.97963848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590486729519852))-π/2
    2×atan(0.554057542932342)-π/2
    2×0.505953068695311-π/2
    1.01190613739062-1.57079632675     		φ = -0.55889019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97963848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.129150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55889019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.022049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45100 KachelY 77854 -0.97963848 -0.55889019 -56.129150 -32.022049
    Oben rechts KachelX + 1 45101 KachelY 77854 -0.97959054 -0.55889019 -56.126404 -32.022049
    Unten links KachelX 45100 KachelY + 1 77855 -0.97963848 -0.55893083 -56.129150 -32.024378
    Unten rechts KachelX + 1 45101 KachelY + 1 77855 -0.97959054 -0.55893083 -56.126404 -32.024378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55889019--0.55893083) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dl = 258.917440000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55889019--0.55893083) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dr = 258.917440000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97963848--0.97959054) × cos(-0.55889019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847844104873928 × 6371000     		do = 258.953413135587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97963848--0.97959054) × cos(-0.55893083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847822554993458 × 6371000     		du = 258.946831247398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55889019)-sin(-0.55893083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847844104873928-0.847822554993458)×R²
    abs(-0.97959054--0.97963848)×2.15498804699843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15498804699843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15498804699843e-05×40589641000000     		ar = 67046.7027348091m²