Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 451 / 219
↖ ↑ ↗
← N 71.187754°
W 21.445312°		 ← 12.606 km → N 71.187754°
W 21.093750°		 →
↑
12.643 km
↓
↑
12.643 km
↓
N 71.074057°
W 21.445312°		 ← 12.679 km →
159.835 km²		 N 71.074057°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44091796875 y=0.21435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44091796875 × 210)
    floor (0.44091796875 × 1024)
    floor (451.5)     		tx = 451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21435546875 × 210)
    floor (0.21435546875 × 1024)
    floor (219.5)     		ty = 219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 451 / 219 ti = "10/451/219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/451/219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 451 ÷ 210
    451 ÷ 1024     		x = 0.4404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 219 ÷ 210
    219 ÷ 1024     		y = 0.2138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2138671875 × 2 - 1) × π
    0.572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79782548335059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37429131} λ = -0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79782548335059))-π/2
    2×atan(6.03650669786435)-π/2
    2×1.40662850987461-π/2
    2.81325701974922-1.57079632675     		φ = 1.24246069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24246069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.187754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 451 KachelY 219 -0.37429131 1.24246069 -21.445312 71.187754
    Oben rechts KachelX + 1 452 KachelY 219 -0.36815539 1.24246069 -21.093750 71.187754
    Unten links KachelX 451 KachelY + 1 220 -0.37429131 1.24047630 -21.445312 71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 452 KachelY + 1 220 -0.36815539 1.24047630 -21.093750 71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24246069-1.24047630) × R
    0.00198438999999984 × 6371000     		dl = 12642.548689999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24246069-1.24047630) × R
    0.00198438999999984 × 6371000     		dr = 12642.548689999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37429131--0.36815539) × cos(1.24246069) × R
    0.00613591999999996 × 0.322468022238295 × 6371000     		do = 12605.9026152559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37429131--0.36815539) × cos(1.24047630) × R
    0.00613591999999996 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 12679.3074571261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24246069)-sin(1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322468022238295-0.324345770694955)×R²
    abs(-0.36815539--0.37429131)×0.00187774845665956×R²
    0.00613591999999996×0.00187774845665956×6371000²
    0.00613591999999996×0.00187774845665956×40589641000000     		ar = 159834802.188329m²