Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45099 / 94238
↖ ↑ ↗
← S 61.645554°
W 56.131897°		 ← 145.05 m → S 61.645554°
W 56.129150°		 →
↑
145.07 m
↓
↑
145.07 m
↓
S 61.646858°
W 56.131897°		 ← 145.05 m →
21 042 m²		 S 61.646858°
W 56.129150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344081878662109 y=0.718982696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344081878662109 × 217)
    floor (0.344081878662109 × 131072)
    floor (45099.5)     		tx = 45099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718982696533203 × 217)
    floor (0.718982696533203 × 131072)
    floor (94238.5)     		ty = 94238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45099 / 94238 ti = "17/45099/94238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45099/94238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45099 ÷ 217
    45099 ÷ 131072     		x = 0.344078063964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94238 ÷ 217
    94238 ÷ 131072     		y = 0.718978881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344078063964844 × 2 - 1) × π
    -0.311843872070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.97968642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.437957763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37588489289485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97968642} λ = -0.97968642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37588489289485))-π/2
    2×atan(0.252615958804871)-π/2
    2×0.24743922251045-π/2
    0.494878445020901-1.57079632675     		φ = -1.07591788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97968642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.131897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07591788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.645554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45099 KachelY 94238 -0.97968642 -1.07591788 -56.131897 -61.645554
    Oben rechts KachelX + 1 45100 KachelY 94238 -0.97963848 -1.07591788 -56.129150 -61.645554
    Unten links KachelX 45099 KachelY + 1 94239 -0.97968642 -1.07594065 -56.131897 -61.646858
    Unten rechts KachelX + 1 45100 KachelY + 1 94239 -0.97963848 -1.07594065 -56.129150 -61.646858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07591788--1.07594065) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dl = 145.06766999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07591788--1.07594065) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dr = 145.06766999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97968642--0.97963848) × cos(-1.07591788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474924684744803 × 6371000     		do = 145.054223282353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97968642--0.97963848) × cos(-1.07594065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474904646419536 × 6371000     		du = 145.04810306203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07591788)-sin(-1.07594065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474924684744803-0.474904646419536)×R²
    abs(-0.97963848--0.97968642)×2.00383252676462e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00383252676462e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00383252676462e-05×40589641000000     		ar = 21042.2342731299m²