Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45098 / 77862
↖ ↑ ↗
← S 32.040677°
W 56.134643°		 ← 258.85 m → S 32.040677°
W 56.131897°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
S 32.043004°
W 56.134643°		 ← 258.84 m →
67 003 m²		 S 32.043004°
W 56.131897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344074249267578 y=0.594043731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344074249267578 × 217)
    floor (0.344074249267578 × 131072)
    floor (45098.5)     		tx = 45098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594043731689453 × 217)
    floor (0.594043731689453 × 131072)
    floor (77862.5)     		ty = 77862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45098 / 77862 ti = "17/45098/77862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45098/77862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45098 ÷ 217
    45098 ÷ 131072     		x = 0.344070434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77862 ÷ 217
    77862 ÷ 131072     		y = 0.594039916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344070434570312 × 2 - 1) × π
    -0.311859130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97973435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594039916992188 × 2 - 1) × π
    -0.188079833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.590870224716812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97973435} λ = -0.97973435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590870224716812))-π/2
    2×atan(0.553845105262804)-π/2
    2×0.50579051315524-π/2
    1.01158102631048-1.57079632675     		φ = -0.55921530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97973435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.134643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55921530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.040677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45098 KachelY 77862 -0.97973435 -0.55921530 -56.134643 -32.040677
    Oben rechts KachelX + 1 45099 KachelY 77862 -0.97968642 -0.55921530 -56.131897 -32.040677
    Unten links KachelX 45098 KachelY + 1 77863 -0.97973435 -0.55925593 -56.134643 -32.043004
    Unten rechts KachelX + 1 45099 KachelY + 1 77863 -0.97968642 -0.55925593 -56.131897 -32.043004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55921530--0.55925593) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55921530--0.55925593) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97973435--0.97968642) × cos(-0.55921530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847671671929761 × 6371000     		do = 258.846742514124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97973435--0.97968642) × cos(-0.55925593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847650116154014 × 6371000     		du = 258.840160198684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55921530)-sin(-0.55925593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847671671929761-0.847650116154014)×R²
    abs(-0.97968642--0.97973435)×2.15557757472506e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15557757472506e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15557757472506e-05×40589641000000     		ar = 67002.5928788515m²