Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45098 / 77848
↖ ↑ ↗
← S 32.008076°
W 56.134643°		 ← 258.94 m → S 32.008076°
W 56.131897°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
S 32.010405°
W 56.134643°		 ← 258.93 m →
67 059 m²		 S 32.010405°
W 56.131897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344074249267578 y=0.593936920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344074249267578 × 217)
    floor (0.344074249267578 × 131072)
    floor (45098.5)     		tx = 45098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593936920166016 × 217)
    floor (0.593936920166016 × 131072)
    floor (77848.5)     		ty = 77848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45098 / 77848 ti = "17/45098/77848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45098/77848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45098 ÷ 217
    45098 ÷ 131072     		x = 0.344070434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77848 ÷ 217
    77848 ÷ 131072     		y = 0.59393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344070434570312 × 2 - 1) × π
    -0.311859130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97973435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.1878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.590199108122131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97973435} λ = -0.97973435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590199108122131))-π/2
    2×atan(0.554216924656956)-π/2
    2×0.506075007045565-π/2
    1.01215001409113-1.57079632675     		φ = -0.55864631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97973435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.134643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55864631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.008076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45098 KachelY 77848 -0.97973435 -0.55864631 -56.134643 -32.008076
    Oben rechts KachelX + 1 45099 KachelY 77848 -0.97968642 -0.55864631 -56.131897 -32.008076
    Unten links KachelX 45098 KachelY + 1 77849 -0.97973435 -0.55868696 -56.134643 -32.010405
    Unten rechts KachelX + 1 45099 KachelY + 1 77849 -0.97968642 -0.55868696 -56.131897 -32.010405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55864631--0.55868696) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dl = 258.981149999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55864631--0.55868696) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dr = 258.981149999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97973435--0.97968642) × cos(-0.55864631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847973395950598 × 6371000     		do = 258.938877573627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97973435--0.97968642) × cos(-0.55868696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847951849173153 × 6371000     		du = 258.932298005926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55864631)-sin(-0.55868696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847973395950598-0.847951849173153)×R²
    abs(-0.97968642--0.97973435)×2.15467774454803e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15467774454803e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15467774454803e-05×40589641000000     		ar = 67059.4363110544m²