Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45097 / 95200
↖ ↑ ↗
← S 62.875188°
W 56.137390°		 ← 139.25 m → S 62.875188°
W 56.134643°		 →
↑
139.27 m
↓
↑
139.27 m
↓
S 62.876441°
W 56.137390°		 ← 139.25 m →
19 393 m²		 S 62.876441°
W 56.134643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344066619873047 y=0.726322174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344066619873047 × 217)
    floor (0.344066619873047 × 131072)
    floor (45097.5)     		tx = 45097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726322174072266 × 217)
    floor (0.726322174072266 × 131072)
    floor (95200.5)     		ty = 95200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45097 / 95200 ti = "17/45097/95200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45097/95200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45097 ÷ 217
    45097 ÷ 131072     		x = 0.344062805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95200 ÷ 217
    95200 ÷ 131072     		y = 0.726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344062805175781 × 2 - 1) × π
    -0.311874389648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.97978229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.45263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42200019032935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97978229} λ = -0.97978229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42200019032935))-π/2
    2×atan(0.241231026055804)-π/2
    2×0.236708635885958-π/2
    0.473417271771916-1.57079632675     		φ = -1.09737905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97978229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.137390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09737905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.875188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45097 KachelY 95200 -0.97978229 -1.09737905 -56.137390 -62.875188
    Oben rechts KachelX + 1 45098 KachelY 95200 -0.97973435 -1.09737905 -56.134643 -62.875188
    Unten links KachelX 45097 KachelY + 1 95201 -0.97978229 -1.09740091 -56.137390 -62.876441
    Unten rechts KachelX + 1 45098 KachelY + 1 95201 -0.97973435 -1.09740091 -56.134643 -62.876441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09737905--1.09740091) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dl = 139.270059999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09737905--1.09740091) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dr = 139.270059999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97978229--0.97973435) × cos(-1.09737905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455930370720749 × 6371000     		do = 139.252870865768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97978229--0.97973435) × cos(-1.09740091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45591091487413 × 6371000     		du = 139.246928549417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09737905)-sin(-1.09740091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455930370720749-0.45591091487413)×R²
    abs(-0.97973435--0.97978229)×1.94558466193873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94558466193873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94558466193873e-05×40589641000000     		ar = 19393.3418880889m²