Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45097 / 77750
↖ ↑ ↗
← S 31.779548°
W 56.137390°		 ← 259.64 m → S 31.779548°
W 56.134643°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
S 31.781882°
W 56.137390°		 ← 259.63 m →
67 406 m²		 S 31.781882°
W 56.134643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344066619873047 y=0.593189239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344066619873047 × 217)
    floor (0.344066619873047 × 131072)
    floor (45097.5)     		tx = 45097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593189239501953 × 217)
    floor (0.593189239501953 × 131072)
    floor (77750.5)     		ty = 77750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45097 / 77750 ti = "17/45097/77750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45097/77750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45097 ÷ 217
    45097 ÷ 131072     		x = 0.344062805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77750 ÷ 217
    77750 ÷ 131072     		y = 0.593185424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344062805175781 × 2 - 1) × π
    -0.311874389648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.97978229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593185424804688 × 2 - 1) × π
    -0.186370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.585501291959366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97978229} λ = -0.97978229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585501291959366))-π/2
    2×atan(0.556826659110013)-π/2
    2×0.508069295209906-π/2
    1.01613859041981-1.57079632675     		φ = -0.55465774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97978229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.137390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55465774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.779548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45097 KachelY 77750 -0.97978229 -0.55465774 -56.137390 -31.779548
    Oben rechts KachelX + 1 45098 KachelY 77750 -0.97973435 -0.55465774 -56.134643 -31.779548
    Unten links KachelX 45097 KachelY + 1 77751 -0.97978229 -0.55469849 -56.137390 -31.781882
    Unten rechts KachelX + 1 45098 KachelY + 1 77751 -0.97973435 -0.55469849 -56.134643 -31.781882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55465774--0.55469849) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dl = 259.618250000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55465774--0.55469849) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dr = 259.618250000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97978229--0.97973435) × cos(-0.55465774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.850080742100759 × 6371000     		do = 259.636539715703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97978229--0.97973435) × cos(-0.55469849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.850059280310375 × 6371000     		du = 259.629984732493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55465774)-sin(-0.55469849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850080742100759-0.850059280310375)×R²
    abs(-0.97973435--0.97978229)×2.14617903838699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14617903838699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14617903838699e-05×40589641000000     		ar = 67405.5331897238m²