Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45096 / 95448
↖ ↑ ↗
← S 63.184107°
W 56.140137°		 ← 137.79 m → S 63.184107°
W 56.137390°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
S 63.185347°
W 56.140137°		 ← 137.78 m →
18 987 m²		 S 63.185347°
W 56.137390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344058990478516 y=0.728214263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344058990478516 × 217)
    floor (0.344058990478516 × 131072)
    floor (45096.5)     		tx = 45096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728214263916016 × 217)
    floor (0.728214263916016 × 131072)
    floor (95448.5)     		ty = 95448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45096 / 95448 ti = "17/45096/95448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45096/95448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45096 ÷ 217
    45096 ÷ 131072     		x = 0.34405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95448 ÷ 217
    95448 ÷ 131072     		y = 0.72821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97983023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.4564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43388854143512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97983023} λ = -0.97983023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43388854143512))-π/2
    2×atan(0.23838016650669)-π/2
    2×0.234012806104731-π/2
    0.468025612209463-1.57079632675     		φ = -1.10277071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97983023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.140137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10277071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.184107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45096 KachelY 95448 -0.97983023 -1.10277071 -56.140137 -63.184107
    Oben rechts KachelX + 1 45097 KachelY 95448 -0.97978229 -1.10277071 -56.137390 -63.184107
    Unten links KachelX 45096 KachelY + 1 95449 -0.97983023 -1.10279234 -56.140137 -63.185347
    Unten rechts KachelX + 1 45097 KachelY + 1 95449 -0.97978229 -1.10279234 -56.137390 -63.185347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10277071--1.10279234) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10277071--1.10279234) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97983023--0.97978229) × cos(-1.10277071) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.451125106350424 × 6371000     		do = 137.785219439886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97983023--0.97978229) × cos(-1.10279234) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.451105802319501 × 6371000     		du = 137.779323491956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10277071)-sin(-1.10279234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451125106350424-0.451105802319501)×R²
    abs(-0.97978229--0.97983023)×1.93040309234283e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.93040309234283e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.93040309234283e-05×40589641000000     		ar = 18987.0487190501m²