Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45096 / 77786
↖ ↑ ↗
← S 31.863563°
W 56.140137°		 ← 259.40 m → S 31.863563°
W 56.137390°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
S 31.865895°
W 56.140137°		 ← 259.39 m →
67 278 m²		 S 31.865895°
W 56.137390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344058990478516 y=0.593463897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344058990478516 × 217)
    floor (0.344058990478516 × 131072)
    floor (45096.5)     		tx = 45096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593463897705078 × 217)
    floor (0.593463897705078 × 131072)
    floor (77786.5)     		ty = 77786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45096 / 77786 ti = "17/45096/77786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45096/77786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45096 ÷ 217
    45096 ÷ 131072     		x = 0.34405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77786 ÷ 217
    77786 ÷ 131072     		y = 0.593460083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97983023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593460083007812 × 2 - 1) × π
    -0.186920166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.587227020345688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97983023} λ = -0.97983023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587227020345688))-π/2
    2×atan(0.555866556214813)-π/2
    2×0.507336124462392-π/2
    1.01467224892478-1.57079632675     		φ = -0.55612408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97983023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.140137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55612408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.863563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45096 KachelY 77786 -0.97983023 -0.55612408 -56.140137 -31.863563
    Oben rechts KachelX + 1 45097 KachelY 77786 -0.97978229 -0.55612408 -56.137390 -31.863563
    Unten links KachelX 45096 KachelY + 1 77787 -0.97983023 -0.55616479 -56.140137 -31.865895
    Unten rechts KachelX + 1 45097 KachelY + 1 77787 -0.97978229 -0.55616479 -56.137390 -31.865895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55612408--0.55616479) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dl = 259.363409999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55612408--0.55616479) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dr = 259.363409999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97983023--0.97978229) × cos(-0.55612408) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.8493075770214 × 6371000     		do = 259.400395199799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97983023--0.97978229) × cos(-0.55616479) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.849286085576889 × 6371000     		du = 259.393831159455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55612408)-sin(-0.55616479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8493075770214-0.849286085576889)×R²
    abs(-0.97978229--0.97983023)×2.14914445111347e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.14914445111347e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.14914445111347e-05×40589641000000     		ar = 67278.1198274385m²